2023图班考试

几百年都没有打开博客了。没想到时隔多年再次写博客是因为 一场奇怪的考试

昨天看真题道道不会，瞬间回到了模拟赛睡觉爆零的日子。进去的时候全场男生（后来总共3个女生），突然回到了NOI改用厕所的日子。题目发下来 2h过去 好像 每次都很害怕，每次都就这么过去了

T1

求单位正方形中最大的等边三角形的边长

T2

求正整数 \(n\) 拆分为 \(1\) , \(2\) 的序列排列数（如 \(4\) 可拆分为 \(( 1,1,1,1)\),\((1,1,2)\),\((1,2,1)\),\((2,1,1)\),\((2,2)\) \(5\) 种）

T3

\(*\) 为集合 \(G\) 上的二元运算，已知：

• 满足结合律 \(a * b * c =a*(b*c)\)
• 存在左单位元 \(e\) ，对任意 \(a\) 满足 \(e*a=a\)
• 对任意 \(a\) 存在左逆元 \(b\) ，使 \(b*a=e\)

问

1. 左单位元是否也为右单位元
2. 左逆元是否也为右逆元

T4

函数 \(f\) 的定义域和值域都为正整数集 且满足\(f(xy)=f(x)+f(y)-1\)

1. 是否存在这样的函数
2. 是否存在无数个这样的函数
3. 是否存在严格递增的函数

T5

取 \(99\) 个正整数（可重复），问是否必有其中 \(50\) 个的和能被 \(50\) 整除