费用流

\(\color{#FDF5E6}{简单}\)费用流

相信大家都听懂了前天pa讲的课和昨天lyc讲的课，所以今天就可以划水 了

对于一条边 \([flow,v]\) 前者表示容量，后者表示费用。（当然有的时候他会变成表示上下界的自行辨别一下就好

废话连篇

放张图来当个封面遮一遮题解

直接应用

不经质疑（这真的是直接应用吗/泪奔

数字匹配

传送门

它是个费用流题，但是网络流都是单向的，这个匹配不是双向的吗

二分图匹配？这好像不是个二分图啊，来想想能不能把它分成两种，保证只有两种间能匹配，一种之内不能匹配。

匹配的条件是 \(a_i=a_j*p\) ，恰好多了一个质数因子，所以两者所含的质数因子总数奇偶行一定不同，奇数放左边，偶数放右边。

对于收益非负，每次找一条增广路，直到要负了为止。

Chips Challenge

传送门

好难啊

网格图、行、列，这提醒着我们建行点，列点，行列间连边，代表这个格子里放不放零件，不能就不用连边了，一定要放则 \([1,1]\) 的边，随意则连 \([0,1]\) 的边。

对于第二个条件，瞄一眼 \(n\)，发现单行（列）可能的上限总共才只有 \(40\) 个，大胆地枚举上限，最后只要判断上限是不是 \(\le ans \times \frac{A}{B}\) 。

答案能二分吗？

经过多次偷数据得出：不行。比如这样的：

\(A=2,B=3\)

C.
.#

那么答案应该是 \(3\) ，但是当二分限制为 \(1\) 的时候，显然没有答案。

接下来就是烦人的第一个限制：行列相等。

如果他们相等，让它们同时加上一个流量，它们还是相等。因为他们的限制相等，所以如果让他们任意加上一个 \([0,inf]\) 的流量，行和列可以同时满流，而如果原先不相等，加上这个流量之后，还是不相等。所以要求一个满足行列相等的，我们可以在同行同列间连一条 \([inf,0]\) 的边，跑最大流看看满不满流。而行列间的边我们让其费用为 \(-1\) ，真实的零件数量即费用的绝对值。

所以现在就变成了枚举，建图，跑上下限费用流。但是真的不是很想跑上下限，怎么办呢？

怎么样才能让必选的边在最大流的情况下一定选进去？改费用！把必选的边权值付成 \(-100001\) ，最后看看费用绝对值除 \(100000\) 是不是刚好等于必须岸边条数。费用模 \(100000\) 就是答案。

好一个直接应用

简单地说，枚举每次的上限 \(lim\) ，设 \(A_i\) 表示第 \(i\) 行，\(B_i\) 表示第 \(j\) 列：

1. 从 \(S\) 到 \(A_i\) 连 \([lim,0]\) 的边，行限制
2. 从 \(B_i\) 到 \(T\) 连 \([lim,0]\) 的边，列限制
3. 必选格 \((i,j)\)，从 \(A_i\) 向 \(B_j\) 连 \([1,-100001]\) 的边
4. 可选格 \((i,j)\)，从 \(A_i\) 向 \(B_j\) 连 \([1,-1]\) 的边
5. 从 \(A_i\) 到 \(B_i\) 连 \([inf,0]\) 的边，强行保证行列相同时达到满流。

从这道题我们也可以发现，直接应用费用流可以省掉许多上下界（当然也有不能省的），即通过把必选的边费用设成极值。

回路限制

相信大家一定牢记昨天lyc的讲课内容。

回路，关键即有向图是入度=出度=1，无向图是度数=2。

进入正题（好像比前面的直接应用容易一点

占空间专用

循环格

传送门

我心中的全局最简单题。

他是个有向图回路，只要满足入度=出度=1，每个格子上有个箭头，已经保证了出度，只要保证每个格子恰好被某个箭头指到就好了。

1. 对每个格子中的箭头建点，指向他所相邻的格子，若方向和原来不同则费用为1，否则不需要费用
2. 源点到箭头连 \([1,0]\) 的边，表示一个箭头选一个方向
3. 格子向汇点连1，表示每个格子只能被指一次。

最小费用最大流

【TopCoder SRM570 900】CurvyonRails

首先回路限制，这是个无向图，所以每个点度数为2。

前一题中有我们是对箭头建点，那这题的边怎么办呢。我们遇到了和开头同样的问题，网络流是有向的，无向边怎么表示。按照前面的套路，我们知道要把他分成两堆，保证只有两堆之间可以连边。

网格图常用套路：黑白染色。这样就只有黑点和白点直接可以连边了，黑点向相邻的白点连边。回路的限制很简单吧，源点到格点，格点和汇点都连 \([2,0]\) 的边，一定要满流就好。

弯路和直路怎么办呢？

对于每个点，当且仅当它的两条边被分配到了都一行或同一列，它是直道。

这启发我们把一个点拆成行点和列点，如果其中一个点被流了两次，那就要付出费用。

好像还是不好办。

我们强制让行点和列点都只连一个，然后行和列之间再连一条 \([1,1]\) 的双向边（两条单向变），流过这条边就说明一个点流了了两次。

简单来说，先黑白染色，对于某一个黑点 \(x\)，将他拆成行点 \(A_x\) 和列点 \(B_x\)：

1. \(S\) 到 \(A_x,B_x\) 连 \([1,0]\) 的边
2. \(A_x,B_x\) 分别向同行、同列的白点连 \([1,0]\) 的边
3. 白点向 \(T\) 连 \([2,0]\) 的边。
4. \(A_x,B_x\) 间连 \([1,1]\) 的双向边。

最小费用最大流，满流才可行。

这题topcoder不太会用，所以有一道题大概可以替代

传送门

费用递增

费用递增，一个物品可以选择多次，而每次选择的代价递增。

可以对每一个物品 \(A_i\) 拆成 \(A_{i,1} \dots A_{i,x}\) 每个的费用为选 \(1 \dots x\) 次的费用，代表选某次。因为费用递增，不可能先选了后边的再选前面的，所以一定是前一条边流完了才有可能流下一条边。

本来要一次性把所有边都连完，那就完美的爆炸了，所以我们先只用每个点连一条边，等流过之后如果下一条不在图中就把他连上。

遮题解专用

美食节

传送门

考虑一个厨师贡献的代价

如果第 \(j\) 个厨师先后做了第 \(a_1,a_2,\cdots,a_w\) 种菜，做倒数第 \(k\) 道菜的时候，后面的 \(k\) 个人都等着，那么等待时间之和就是：

\[t_{a_1,j}w+t_{a_2,j}(w-1)+\cdots+t_{a_w,j} \]

那么对于同一道菜，它做得越靠后，费用就越大。

套用费用递增模型

球队收益

传送门

剪刀石头布

传送门

签到问题

课件写的是签到问题，感觉还蛮形象的。

大概就是必须到某一个点必须带着 \(x\) 个东西签一次到，那么就可以把这个点理解为早上和晚上，早上签到，晚上离开。

早上你要上交 \(x\) 个物品，暂存在汇点（假装汇点是个大boss），即早点向汇点连 \([x,0]\) 的边

晚上你可以从源点重新拿回这 \(x\) 个物品（汇点下班了把东西转交给源点了），继续你的下一次签到。即源点向晚点连 \([x,0]\) 的边。

合法方案一定是满流的。

遮题解

餐巾计划

传送门

我们可以理解为，第 \(i\) 天早上，餐厅要发给顾客 \(x_i\) 块餐巾，可以买餐巾，洗衣店会把前几天送来的今天洗完的餐巾送回来。每天晚上顾客把所有餐巾都还回来。每天晚上餐厅可以把餐巾送到快（慢）洗点洗，当然也可以堆着不洗，直接放到明天（但是他不能发给顾客，所以等于屯了一天直接屯到第二天晚上）。

把每一天拆成早点 \(A_i\) 和晚点 \(B_i\) 。

早上能干吗要干嘛？

1. 发餐巾：从 \(A_i\) 到 \(T\) 连 \([x_i,0]\) 的边，必须要满流
2. 买餐巾：从 \(S\) 到 \(A_i\) 连 \([inf,p]\) 的边
3. 收洗过的餐巾：见下

晚上能干吗？

1. 回收脏餐巾：从 \(S\) 到 \(B_i\) 连 \([x_i,0]\) 的边（可以理解会汇点和源点间有无形的边汇点收到的会回流）
2. 洗餐巾：快洗—— \(B_i\) 到 \(A_{i+a}\) 连 \([inf,b]\) 的边；慢洗——\(B_i\) 到 \(A_{i+b}\) 连 \([inf,a]\) 的边。
3. 直接留着扔给明天：\(B_i\) 向 \(B_{i+1}\) 连 \([inf,0]\) 的边。

跑最小费用最大流，一定是满流。