LOJ3228「USACO 2019.12 Platinum」Tree Depth
题意
求所有\(n\)元逆序对数为\(k\)的排列所对应的笛卡尔树中(每次选区间最小连在父亲下,再分为左右两部分递归),求每个位置在所有树中的深度和
\(1 \le n \le 300\)
思路
是设\(f_k\)表示逆序对数为\(k\)的\(n\)排列的数量,那么其生成函数:
\[F(x)=\prod_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{i}x^j
\]
(大概就是看一下在前面所有数中的位置)
然后再来看需要求的东西,深度和即为有多少个父亲。\(i\)为\(j\)的父亲需要满足\(i\)是\([i,j]\)或\([j,i]\)的最小值。考虑生成函数中的顺序其实可以调换,我们不一定要按从前到后的顺序来考虑,也可以先把\([l,r]\)区间拿出来考虑内部的逆序对,再从后往前考虑\([1,l]\)考虑对\([i+1,l]\)中数的贡献,在从前往后考虑\([r+1,n]\)的数对\([1,i-1]\)中的贡献,对于每一个式子,都能够构造出与之对应的排列,也就是说,只要你是挨着构造的,且大小关系不产生矛盾,那一“项”对应那一个位置都没问题。
然后单独考虑\(i,j\)的父子关系,若\(i\)为\([i,j]\)中的最小值,则\(i\)会贡献\(0\)个逆序对,此时\(i\)是\(j\)的父亲。若\(j\)是\([i,j]\)中的最小值,则\(j\)会贡献\(len-1(j-i)\)个逆序对。为了方便,我们把\(i,j\)这个位置贡献的逆序对数目拿出来单独考虑,即\(1+x+ \dots +x^{len}\)那一项除掉。然后对于前者,有\(f[k]\)个排列,后者有\(f[k-(len-1)]\)个
来自蒟蒻zjy的瞎掰,看的人不会很多,有耐心看的人可能就我一个,你们如果真想研究可以去zsy大佬那儿看看
#include <bits/stdc++.h>
int f[300*160],n,k,N,mu,ans[305];
void reduce(int &x) {x+=x>>31μ}
void cheng(int k){
for (int i=N;i>=k;i--) reduce(f[i]-=f[i-k]);
for (int i=1;i<=N;i++) reduce(f[i]+=f[i-1]-mu);
}
void chu(int k){
for (int i=N;i;i--) reduce(f[i]-=f[i-1]);
for (int i=k;i<=N;i++) reduce(f[i]+=f[i-k]-mu);
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&k,&mu);
N=n*(n-1)/2;
f[0]=1;
for (int i=2;i<=n;i++) cheng(i);
for (int i=1;i<=n;i++) ans[i]=f[k];//自己的深度
for (int i=2;i<=n;i++){
chu(i);//此段区间加入的贡献下面重新算
for (int j=1;j+i-1<=n;j++){
if (k-(i-1)>=0) reduce(ans[j]+=f[k-(i-1)]-mu);//j+i-1最小
reduce(ans[j+i-1]+=f[k]-mu);//j最小
}
cheng(i);
}
for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",ans[i]);
}
后记
大型补blog现场(补不完了)
* 生而自由 爱而无畏 *