LG5492 [PKUWC2018]随机算法
题意
有一种贪心求最大独立集的算法:
- 随机一个排列
- 按顺序加入独立集,如果一个点能加入,就加入\({S}\)
给出一张图,问得出正确答案的概率。
\(n \leq 20\)
思路
用 \(dp[i][s]\) 表示排列集合为 \(i\),最大独立集的大小为 \(s\) 的方案数,\(a[x]\)表示与\(x\)相连的点集。
考虑加入一个可行点,会使与它相连的所有点不能再加入,这些点的排列顺序无关答案,可以直接将他们随便放到后面的排列中去,即乘上\(A(n-count[i]-1,count[a[j]]-count[i \& a[j]]-1)\),将这些点看作已经在排列里了,继续转移
因为对于一个排列集合,我们只需要转移\(s\)最大的即可(小的不可能成为答案),所以复杂度是\(O(n \times 2^n)\)的
#include <bits/stdc++.h>
const int mu=998244353;
int p[25],inv[25],dp[1<<20][21],a[20],n,m,count[1<<20],x,y;
int ksm(int x,int y){
int ans=1;
for (;y;y>>=1,x=x*1ll*x%mu)
if (y&1) ans=ans*1ll*x%mu;
return ans;
}
int A(int x,int y){
return 1ll*p[x]*inv[x-y]%mu;
}
void init(){
p[0]=1;
for (int i=1;i<=20;i++) p[i]=p[i-1]*1ll*i%mu;
inv[20]=ksm(p[20],mu-2);
for (int i=20;i>=0;i--) inv[i-1]=inv[i]*1ll*i%mu;
for (int i=1;i<1<<n;i++)
count[i]=count[i>>1]+(i&1);
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=0;i<n;i++) a[i]|=(1<<i);
for (int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d",&x,&y);
x--,y--;
a[x]|=(1<<y),a[y]|=(1<<x);
}
init();
dp[0][0]=1;
for (int i=0;i<(1<<n)-1;i++)
for (int k=count[i];k>=0;k--){
int t=dp[i][k];
if (!t) continue;
for (int j=0;j<n;j++){
if (i&(1<<j)) continue;
int u=i|a[j];
dp[u][k+1]=(dp[u][k+1]+t*1ll*A(n-count[i]-1,count[a[j]]-count[i&a[j]]-1))%mu;
}
break;
}
for (int i=n;i>=1;i--)
if (dp[(1<<n)-1][i]){
printf("%d\n",dp[(1<<n)-1][i]*1ll*inv[n]%mu);
return 0;
}
}
后记
为什么我有点迷糊pku的难度??今年sc是迷惑行为吗??
* 生而自由 爱而无畏 *