LG4781 【模板】拉格朗日插值

题意

给定\(n\)个点\((x_i,y_i)\)，请你确定这个多项式，并将\(k\)代入求值

求出的值对\(998244353\)取模

思路

学习了一下拉格朗日插值法(最菜的那种),其实还是挺好懂的
按照朴素思路，我们是构造一个矩阵，然后高斯消元法\(O(n^3)\),妥妥的\(TLE\)
那么
拉格朗日插值法的思路很简单，按照题目样例一给的三个点：

• 1 4
• 2 9
• 3 16

我们假设有以下\(3\) 个函数：

• \(G_1(x)=(x-2)(x-3)\)
• \(G_2(x)=(x-1)(x-3)\)
• \(G_3(x)=(x-1)(x-2)\)

因此，显然有
\(G_1(2)=G_1(3)=0\ ,\ G_2(1)=G_2(3)=0\ ,\ G_3(1)=G_3(2)=0\)
所以我们需要的原函数可以写为：
$f(x)=A_1G_1(x)+A_2G_2(x)+A_3G_3(x) $
那就很显然有

\[ \left\{\begin{aligned} \\f(1)=A_1G_1(1)+A_2\times0+A_3\times 0=A_1G_1(1) \\f(2)=A_1\times 0+A_2G_2(2)+A_3\times 0=A_2G_2(2) \\f(3)=A_1\times 0+A_2\times 0+A_3G_3(3)=A_3G_3(3) \end{aligned} \right. \]

所以把点值回带就能算\(A\)的值

总结一下并推广到其他情况,我们先构造了
\(G_i(x)=\prod_{j=1\&j\neq i}^n(x-x_j)\)
因为 $$A_i=\frac{y_i}{G_i(x_i)}$$

倒代入点的坐标得：

\[f(k)=\sum_{i=1}^n A_i G_i(k) \]

\[=\sum\frac{y_i}{G_i(x_i)}*G_i(k) \]

公式整理得：

\[f(x)=\sum_{i=1}^{n} y_i\times(\prod_{j\neq i }\frac{x-x_j}{x_i-x_j}) \]

然后代码实现\(O(n^2)\)就非常简单了,注意逆元可以乘起来求一次,不需要每次求

#include <bits/stdc++.h>
const int N=2005; 
int n,k,x[N],y[N],ans; 
const int mu=998244353;
int ksm(int x,int y){
	int ans=1;
	for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mu)
		if (y&1) ans=1ll*ans*x%mu;
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
	for (int i=1;i<=n;i++){
		int t=1,t2=1;
		for (int j=1;j<=n;j++){
			if (j==i) continue;
			t=1ll*t*(k-x[j])%mu;
			t2=1ll*t2*(x[i]-x[j])%mu;
		}
		ans=(ans+t*1ll*y[i]%mu*ksm(t2,mu-2))%mu;
	}
	printf("%d\n",(ans+mu)%mu);
} 

如果要求多项式的话，那可以直接暴力算出 \(A_i=\frac{y_i}{G_i(x_i)}\)，然后乘上相应的 \(G_i\)，\(G_i\) 可以先算出 \(\prod (x-x_i)\)，然后每次除掉相应项即可

void mul(int c){
	for (int i=W;i>=0;i--){
		reduce(f[i+1]+=f[i]-mu);
		f[i]=(ll)f[i]*c%mu;
	}
}
void div(int c){
	int inv=ksm(c,mu-2);
	memcpy(g,f,sizeof(g));
	for (int i=0;i<=W;i++){
		g[i]=(ll)g[i]*inv%mu;
		reduce(g[i+1]-=g[i]);
	}
}
void lglr(){
	f[0]=1,W=0;
	for (int i=0;i<=n;i++)
		mul(mu-x[i]),W++;
	for (int i=0;i<=n;i++){
		div(mu-x[i]);
		int s=1;
		for (int j=0;j<=n;j++)
			if (i!=j) s=(ll)s*(x[i]-x[j])%mu;
		s=(s+mu)%mu;
		int A=(ll)fy[i]*ksm(s,mu-2)%mu;
		for (int j=0;j<=n;j++)
			reduce(ans[j]+=(ll)g[j]*A%mu-mu);
	} 
} 

后记

多项式一窍不通,以后要努力啊

参考

JustinRochester大佬