5. Longest Palindromic Substring【字符串 DP】
Given a string S, find the longest palindromic substring in S. You may assume that the maximum length of S is 1000, and there exists one unique longest palindromic substring.
版本1：Brute Force O（n^3）
双指针
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版本2：DP---改进版本1，避免重复计算 O(n^2) | O(n^2)
该方法可以用于收集整个字符串的回文状态，作为子问题。
类似于LCS，是LCS与KMP的变种，若采用LCS是有问题的，因为公共子串未必是回文串
解：
状态：定义二维数组P[i,j]用以表示Si…Sj是回文（true）或不是回文（false）
状态转移方程 ： P[i,j] = (P[i + 1, j - 1] && Si ==Sj)
初始条件是：P[i, i]=true，P[i, i + 1] = (Si == Si+1)
C++版（ 使用 C++ 、java可以A ， Python超时）
class Solution {
public:
string longestPalindrome(string s) {
int l = s.length();
bool p[1000][1000] = {false};
int max_len = 1 , max_beg = 0;
p[l-1][l-1] = true;
for(int i=0;i<l;i++){
p[i][i] = true;
if(s[i] == s[i+1]){
p[i][i+1] = true;
max_len = 2;
max_beg = i;
}
}
for(int length=3 ;length<=l ;length++){
for(int i=0;i<=l-length;i++){
int j = i+length-1;
if(s[i] == s[j] && p[i+1][j-1]){
p[i][j] = true;
max_beg = i;
max_len = length;
}
}
}
return s.substr(max_beg,max_len);
}
};
Java版
public class Solution {
public String longestPalindrome(String s) {
int n = s.length();
if( n == 0 ) return s;
String str = s.substring(0,1);
boolean[][] dp = new boolean[n][n];
for ( int i=0;i<n-1;i++ ){
dp[i][i] = true;
if( s.charAt(i) == s.charAt(i+1) ){
str = s.substring(i,i+2);
dp[i][i+1] = true;
}
}
dp[n-1][n-1] = true;
//初始化完成 O(n)
for( int i=n-2;i>=0;i-- )
for( int j=i+2;j<n;j++ ){
dp[i][j] = dp[i+1][j-1] && (s.charAt(i) == s.charAt(j));
if( dp[i][j] == true && j-i+1 > str.length() )
str = s.substring(i,j+1);
}
return str;
}
}
Python版
s='gsdabcdcbaee' l = len(s) p = [[False]*l for i in range(l)] # init max_len , max_beg = 1 , 0 p[l-1][l-1] = True for i in range(l-1): p[i][i] = True if s[i] == s[i+1]: p[i][i+1] = True max_len = 2 max_beg = i for length in range(3,l+1): for i in range(0,l-length+1): j = i+length-1 if s[i] == s[j] and p[i+1][j-1]: p[i][j] = True max_beg = i max_len = length print s[max_beg:max_beg+max_len]
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版本3：中心扩展法 O(n^2) | O(1) 该方法用Python可A，因为最坏情况才n^2,时间更接近n
Python
def Palindromic( s , i , j ):
l = len(s)
curLen = 0
while i>=0 and j<l and s[i] == s[j]:
i -= 1
j += 1
curLen = (j - 1) - (i + 1) + 1
return curLen
class Solution(object):
def longestPalindrome(self, s):
start = 0
max_len = 1
for i in range(len(s)):
curOdd = Palindromic(s,i,i)
if curOdd > max_len:
max_len = curOdd
start = i - curOdd/2
if i+1<len(s):
curEven = Palindromic(s,i,i+1)
if curEven > max_len:
max_len = curEven
start = i + 1 - curEven/2
return s[start:start+max_len]
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版本4：Manacher线性算法 O(n) 改进版本3，
俗称：马拉车算法
Tip1:插入'#'可以一次性解决奇偶回文问题 abcdcba -------------> #a#b#c#d#c#b#a#
Tip2:记录状态，避免重复计算（回文发生大量重叠 时“abacabaaa”）
Tip3:避免越界前后设置别的符号作为界限。
状态：P[i]记录以i对应元素为中心的最长回文串的半径（包含自己）。
状态转移：p[i] = mx>i? min( p[ 2*id-i ] , mx - i ) : 1
该方程分为三种情况
1、 mx>i 且 mx-i > p[ j ] (j=2*id-i) ； --> p[ i ] = p [ j ] = p[ 2*id - i ]
2、mx>i 且 mx-i<=p[ j ] ； ---> p[ i ] >= mx-i 继续匹配。
3、mx<=i 无法利用p数组，继续匹配。
public class Solution {
public String longestPalindrome(String s) {
//预处理
StringBuffer sb = new StringBuffer("^#");
for( int i=0;i<s.length();i++ ){
sb.append(s.substring(i,i+1)+"#");
}
sb.append("$");
String str = sb.toString();
//预处理完毕
int[] p = new int[str.length()];
int mx = 0 , id = 0;
for( int i=1;i<str.length()-1;i++ ){
p[i] = mx>i ? Math.min( p[ 2*id-i ] , mx - i + 1 ) : 1;
while( str.charAt( i+p[i] ) == str.charAt( i-p[i] )) ++p[i];
if( p[i] > p[id] ) {
id = i;
mx = i + p[i] - 1;
}
}
return s.substring( (2 * id - mx - 1) / 2 , (mx-1)/2 );
}
}
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版本5：后缀树 O(nlog(n))
暂空
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什么时候使用动态规划法：
• Optimal substructure 最优子结构
• Overlapping subproblems 重叠子问题
构建解的方法：
Characterize structure of optimal solution 状态
Recursively define value of optimal solution 状态转移
Compute in a bottom-up manner 自顶向上
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