NumPy之:理解广播
简介
广播描述的是NumPy如何计算不同形状的数组之间的运算。如果是较大的矩阵和较小的矩阵进行运算的话，较小的矩阵就会被广播，从而保证运算的正确进行。
本文将会以具体的例子详细讲解NumPy中广播的使用。
基础广播
正常情况下，两个数组需要进行运算，那么每个数组的对象都需要有一个相对应的值进行计算才可以。比如下面的例子：
a = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
b = np.array([2.0, 2.0, 2.0])
a * b
array([ 2., 4., 6.])
但是如果使用Numpy的广播特性，那么就不必须元素的个数准确对应。
比如，我们可以讲一个数组乘以常量：
a = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
>>> b = 2.0
>>> a * b
array([ 2., 4., 6.])
下面的例子和上面的例子是等价的，Numpy会自动将b进行扩展。
NumPy足够聪明，可以使用原始标量值而无需实际制作副本，从而使广播操作尽可能地节省内存并提高计算效率。
第二个示例中的代码比第一个示例中的代码更有效，因为广播在乘法过程中移动的内存更少（b是标量而不是数组）。
广播规则
如果两个数组操作，NumPy会对两个数组的对象进行比较，从最后一个维度开始，如果两个数组的维度满足下面的两个条件，我们就认为这两个数组是兼容的，可以进行运算：
- 维度中的元素个数是相同的
- 其中一个维数是1
如果上面的两个条件不满足的话，就会抛出异常： ValueError: operands could not be broadcast together。
维度中的元素个数是相同的，并不意味着要求两个数组具有相同的维度个数。
比如表示颜色的256x256x3 数组，可以和一个一维的3个元素的数组相乘：
Image (3d array): 256 x 256 x 3
Scale (1d array): 3
Result (3d array): 256 x 256 x 3
相乘的时候，维度中元素个数是1的会被拉伸到和另外一个维度中的元素个数一致：
A (4d array): 8 x 1 x 6 x 1
B (3d array): 7 x 1 x 5
Result (4d array): 8 x 7 x 6 x 5
上面的例子中，第二维的1被拉伸到7，第三维的1被拉伸到6，第四维的1被拉伸到5。
还有更多的例子：
B (1d array): 1
Result (2d array): 5 x 4
A (2d array): 5 x 4
B (1d array): 4
Result (2d array): 5 x 4
A (3d array): 15 x 3 x 5
B (3d array): 15 x 1 x 5
Result (3d array): 15 x 3 x 5
A (3d array): 15 x 3 x 5
B (2d array): 3 x 5
Result (3d array): 15 x 3 x 5
A (3d array): 15 x 3 x 5
B (2d array): 3 x 1
Result (3d array): 15 x 3 x 5
下面是不匹配的例子：
A (1d array): 3
B (1d array): 4 # trailing dimensions do not match
A (2d array): 2 x 1
B (3d array): 8 x 4 x 3 # second from last dimensions mismatched
再举个实际代码的例子：
>>> x = np.arange(4)
>>> xx = x.reshape(4,1)
>>> y = np.ones(5)
>>> z = np.ones((3,4))
>>> x.shape
(4,)
>>> y.shape
(5,)
>>> x + y
ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (4,) (5,)
>>> xx.shape
(4, 1)
>>> y.shape
(5,)
>>> (xx + y).shape
(4, 5)
>>> xx + y
array([[ 1., 1., 1., 1., 1.],
[ 2., 2., 2., 2., 2.],
[ 3., 3., 3., 3., 3.],
[ 4., 4., 4., 4., 4.]])
>>> x.shape
(4,)
>>> z.shape
(3, 4)
>>> (x + z).shape
(3, 4)
>>> x + z
array([[ 1., 2., 3., 4.],
[ 1., 2., 3., 4.],
[ 1., 2., 3., 4.]])
广播还提供了一个非常方便的进行两个1维数组进行外部乘积的运算：
>>> a = np.array([0.0, 10.0, 20.0, 30.0])
>>> b = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
>>> a[:, np.newaxis] + b
array([[ 1., 2., 3.],
[ 11., 12., 13.],
[ 21., 22., 23.],
[ 31., 32., 33.]])
其中a[:, np.newaxis] 将1维的数组转换成为4维的数组：
In [230]: a[:, np.newaxis]
Out[230]:
array([[ 0.],
[10.],
[20.],
[30.]])
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