第八届蓝桥杯省赛 K倍区间

问题描述

　　给定一个长度为N的数列，A1, A2, ... AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, ... Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。
　　你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？

输入格式

　　第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
　　以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)

输出格式

　　输出一个整数，代表K倍区间的数目。

样例输入

5 2
1
2
3
4
5

样例输出

6

数据规模和约定

　　峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
　　CPU消耗 < 2000ms

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思路

 　　这题暴力复杂度为$O(n^2)$，无法通过所有数据。我提供两种思路来解决这个问题：

　　首先求出数组的前缀和并对k取余。前缀和是数组的前j个元素的和$\sum\limits_{i = 1}^j {a[i]}$。假设经过求余得到的数组为$\{ {y_1},{y_2},...,{y_n}\}$，比如样例中的$y$数组为{1,1,0,0,1}。

 

　　1.对于数组$y$，如果${y_i} = {y_j}(i < j)$，那么$\sum\limits_{t = i + 1}^j {{t_i}}$必定是$k$的倍数。设$c_x$表示数组$y$等于$x$的元素个数，但是要特别注意等于0的情况，要让$c_0+1$!!

　　答案就是$\sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {{c_i} \times ({c_i} - 1)/2}$。

 

　　2.在计算数组$y$同时，第$i$个元素能和前面的元素构成$c_{y_i}-1$个k倍区间，这样一直计算下去就是答案。

 

　　总而言之，这两种思路都是基于余数相同区间和必为k的倍数来实现的。

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AC代码

　　

#include <stdio.h>
#include <string.h>
const int maxn = 100000 + 5;
typedef long long LL;
int a[maxn], cnt[maxn];
int n, k;
int main() {
    while(scanf("%d%d", &n, &k) == 2) {
        int sum = 0;
        LL ans = 0;
        memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d", &a[i]);
            sum = (sum + a[i] % k) % k;
            cnt[sum]++;
        }
        cnt[0]++;
        for(int i = 0; i < k; i++) {
            ans += (1LL * cnt[i] * (cnt[i]-1)) / 2;
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}

 

 

 如有不当之处欢迎指出！