第八届蓝桥杯决赛 磁砖样式

标题：磁砖样式

小明家的一面装饰墙原来是 3*10 的小方格。
现在手头有一批刚好能盖住2个小方格的长方形瓷砖。
瓷砖只有两种颜色：黄色和橙色。
小明想知道，对于这么简陋的原料，可以贴出多少种不同的花样来。
小明有个小小的强迫症：忍受不了任何2*2的小格子是同一种颜色。
（瓷砖不能切割，不能重叠，也不能只铺一部分。另外，只考虑组合图案，请忽略瓷砖的拼缝）
显然，对于 2*3 个小格子来说，口算都可以知道：一共10种贴法，如【p1.png所示】
但对于 3*10 的格子呢？肯定是个不小的数目，请你利用计算机的威力算出该数字。

注意：你需要提交的是一个整数，不要填写任何多余的内容（比如：说明性文字）

---

 

思路

　　去年比赛时被这题坑了，一直想用轮廓线动态规划去做。。。其实直接暴力搜索就可以。

　　依次枚举每一个格子，每摆放满一行，再尝试去摆放下一行。在位置$(x,y)$处有两种摆放方式：横向和纵向。

　　当摆满所有格子的时候就检查是否出现某个2*2的小格子是同一种颜色，以及这种摆放方式是否已经计算过。我是采用二进制来表示每一种能铺满的情况，黄色用0表示，橙色用1表示，再用map来记录和判断是否重复计算。

 

---

 

详细代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <map>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int w = 3, h = 10;
int graph[w][h];
int ans = 0;

map<int, int> Hash;

//检查2x2格子颜色是否相同
bool check_color() {
    for(int i = 0; i < w; i++) 
    for(int j = 0; j < h; j++) {
        if(i+1 < w && j+1 < h) {
            if((graph[i][j]+graph[i][j+1]+graph[i+1][j]+graph[i+1][j+1]) % 4 == 0) 
                return false;
        }
    }
    return true;
}

void fill_with_tile(int x, int y) {
    if(graph[x][y] == -1) {
        //横向摆放
        if(y+1 < h && graph[x][y+1] == -1) {

            for(int i = 0; i < 2; i++) {
                graph[x][y] = graph[x][y+1] = i;
                if(y == h-1) {  //铺下一行
                    fill_with_tile(x+1, 0);
                } else {        //铺当前行的下一个格子
                    fill_with_tile(x, y+1);
                }
                graph[x][y] = graph[x][y+1] = -1;
            }

        }
        //纵向摆放
        if(x+1 < w && graph[x+1][y] == -1) {
            for(int i = 0; i < 2; i++) {
                graph[x][y] = graph[x+1][y] = i;
                if(y == h-1) {  //铺下一行
                    fill_with_tile(x+1, 0);
                } else {        //铺当前行的下一个格子
                    fill_with_tile(x, y+1);
                }
                graph[x][y] = graph[x+1][y] = -1;
            }
        }
    } else {
        if(x == w-1 && y == h-1) { //成功铺满
            if(check_color()) {
                //判断是否出现重复情况
                int ret = 0, bit = 1;
                for(int i = 0; i < w; i++)
                for(int j = 0; j < h; j++) {
                    ret += graph[i][j] * bit;
                    bit *= 2;
                }
                if(!Hash.count(ret)) {
                    Hash[ret] = 1;
                    ans++;
                }
            }
            return;
        }
        if(y == h-1) {          //铺下一行
            fill_with_tile(x+1, 0);
        } else {                //铺当前行的下一个格子
            fill_with_tile(x, y+1);
        }
    }
}

int main() {
    memset(graph, -1, sizeof(graph));
    fill_with_tile(0, 0);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

 

只需要1s就算出来答案了，合理的铺放方式共有101466种。

 

---

如有不当之处欢迎指出！