第八届蓝桥杯决赛 对局匹配

标题：对局匹配

小明喜欢在一个围棋网站上找别人在线对弈。这个网站上所有注册用户都有一个积分，代表他的围棋水平。
小明发现网站的自动对局系统在匹配对手时，只会将积分差恰好是K的两名用户匹配在一起。如果两人分差小于或大于K，系统都不会将他们匹配。
现在小明知道这个网站总共有N名用户，以及他们的积分分别是A1, A2, ... AN。
小明想了解最多可能有多少名用户同时在线寻找对手，但是系统却一场对局都匹配不起来(任意两名用户积分差不等于K)？

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输入

第一行包含两个个整数N和K。
第二行包含N个整数A1, A2, … AN。
对于30%的数据，1 <= N <= 10
对于100%的数据，1 <= N <= 100000, 0 <= Ai <= 100000, 0 <= K <= 100000

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输出

一个整数，代表答案。

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样例输入：

10 0
1 4 2 8 5 7 1 4 2 8

样例输出：

6

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样例输入：

10 1
2 1 1 1 1 4 4 3 4 4

样例输出：

8

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资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 1000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意: main函数需要返回0
注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准，不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include ， 不能通过工程设置而省略常用头文件。

提交时，注意选择所期望的编译器类型。

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 思路

　　设共有$x$种分数，将其分为$k$组，每个分数满足相邻的分数值相差为$k$。正如样例2中所示，共有4种分数，将其分为1组：{1,2,3,4},这个组中任何相邻的两个分数都不能同时取，因为它们相差$k$，该分组还对应了一个人数分组：{4,1,1,4},要想使得人数尽量多，而且分数不能相差1，那么选择分数分别为{1,4},人数是4+4=8.

　　上述是只有一个分组的情况，当有多个分组的时候也是同样的处理方法--尽量选择不相邻且人数最多。对于一个人数分别为$\{ {a_1},{a_2},...,{a_n}\}$的分组，可以利用动态规划算法来选择最多人数，且都不相邻。每个$a_i$只有选择与不选择两种可能，假设$dp(i)$表示前i个人数能获得的最多人数，那么选择第i个人数的话，$dp(i)=dp(i-2)+a_i$，如果不选择第i个人数的话，$dp(i)=dp(i-1)$，这样得到转移方程$dp(i) = \max \{ dp(i - 1),dp(i - 2) + {a_i}\} $。

　　注意，当k=0的时候特殊处理一下。

 

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 时间复杂度$O(MAX\_SCORE)$

AC代码（借用@TQCAI的账号已在蓝桥杯官网AC）

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX_SCORE 100000
const int maxn = 100000 + 5;
int cnt[MAX_SCORE+5], val[maxn], dp[maxn];
int n, k;

int main() {
    while(scanf("%d%d", &n, &k) == 2) {
        memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
        int score, ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &score);
            cnt[score]++;
        }
        //特殊处理k=0的情况
        if(k == 0) {
            for(int i = 0; i <= MAX_SCORE; i++) {
                if(cnt[i]) ans++;
            }
        } 
        else {
            for(int i = 0; i < k; i++) {
                int m = 0;
                for(int j = i; j <= MAX_SCORE; j+=k) {
                    val[m++] = cnt[j];
                }
                dp[0] = val[0];
                for(int j = 1; j < m; j++) {
                    if(j == 1) dp[j] = max(dp[0], val[j]);
                    else dp[j] = max(dp[j-2] + val[j], dp[j-1]);
                }
                ans += dp[m-1];
            }
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

 

特此感谢@TQCAI

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如有不当之处欢迎指出！