[BZOJ 4819] [SDOI 2017] 新生舞会
Description
学校组织了一次新生舞会，Cathy作为经验丰富的老学姐，负责为同学们安排舞伴。
有 \(n\) 个男生和 \(n\) 个女生参加舞会买一个男生和一个女生一起跳舞，互为舞伴。
Cathy收集了这些同学之间的关系，比如两个人之前认识没计算得出 \(a_{i,j}\)。
Cathy还需要考虑两个人一起跳舞是否方便，比如身高体重差别会不会太大，计算得出 \(b_{i,j}\)，表示第 \(i\) 个男生和第 \(j\) 个女生一起跳舞时的不协调程度。
当然，还需要考虑很多其他问题。
Cathy想先用一个程序通过 \(a_{i,j}\) 和 \(b_{i,j}\) 求出一种方案，再手动对方案进行微调。
Cathy找到你，希望你帮她写那个程序。
一个方案中有n对舞伴，假设没对舞伴的喜悦程度分别是 \(a'_1,a'_2,...,a'_n\)，假设每对舞伴的不协调程度分别是 \(b'_1,b'_2,...,b'_n\)。令
Cathy希望 \(C\) 值最大。
Input
第一行一个整数 \(n\)。
接下来 \(n\) 行，每行 \(n\) 个整数，第 \(i\) 行第 \(j\) 个数表示 \(a_{i,j}\)。
接下来 \(n\) 行，每行 \(n\) 个整数，第 \(i\) 行第 \(j\) 个数表示 \(b_{i,j}\)。
Output
一行一个数，表示 \(C\) 的最大值。四舍五入保留 \(6\) 位小数，选手输出的小数需要与标准输出相等。
Sample Input
3
19 17 16
25 24 23
35 36 31
9 5 6
3 4 2
7 8 9
Sample Output
5.357143
HINT
对于10%的数据，\(1\le n\le 5\)
对于40%的数据，\(1\le n\le 18\)
另有20%的数据，\(b_{i,j}\le 1\)
对于100%的数据，\(1\le n\le 100,1\le a_{i,j},b_{i,j}<=10^4\)
Solution
分数规划，二分答案 \(mid\)，将边的费用设为 \(b_{i,j}\cdot mid-a_{i,j}\)，若最小费用 \(>0\)，则令 \(r=mid\)，否则令 \(l=mid\)。
注意 \(1e9+1e^{-8}\) 会爆 \(double\) 的精度，所以避免写 \(\inf+eps\)。
Code
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
const double eps = 1e-8, INF = 1e8;
int n, a[102][102], b[102][102], head[205], tot = 1, S, T, p[205], c[205]; double d[205];
struct Edge {
int u, v, nxt, f, c; double w; Edge(){}
Edge(int u, int v, int nxt, int f, int c, double w) : u(u), v(v), nxt(nxt), f(f), c(c), w(w) {}
} e[20402];
int read() {
int x = 0; char c = getchar();
while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
while (c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
return x;
}
void adde(int u, int v) {
e[++tot] = Edge(u, v, head[u], 0, 1, 0), head[u] = tot;
e[++tot] = Edge(v, u, head[v], 0, 0, 0), head[v] = tot;
}
bool spfa(int &flow, double &cost) {
int inq[205] = {}, u; std::queue<int> q;
for (int i = 1; i <= T; ++i) d[i] = INF;
d[S] = p[S] = 0, q.push(S), inq[S] = 1, c[S] = INF;
while (!q.empty()) {
u = q.front(), q.pop(), inq[u] = 0;
for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt)
if (e[i].c > e[i].f && d[e[i].v] > d[u] + e[i].w + eps) {
d[e[i].v] = d[u] + e[i].w, p[e[i].v] = i, c[e[i].v] = std::min(c[u], e[i].c - e[i].f);
if (!inq[e[i].v]) q.push(e[i].v), inq[e[i].v] = 1;
}
}
if (d[T] + 1 > INF) return false;
flow += c[T], cost += c[T] * d[T], u = T;
while (u != S) e[p[u]].f += c[T], e[p[u] ^ 1].f -= c[T], u = e[p[u]].u;
return true;
}
double mcmf() {
int flow = 0; double cost = 0;
while (spfa(flow, cost)) {}
return cost;
}
int main() {
n = read(), S = n << 1 | 1, T = S + 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= n; ++j) a[i][j] = read();
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= n; ++j) b[i][j] = read();
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= n; ++j) adde(i, n + j);
for (int i = 1; i <= n; ++i) adde(S, i), adde(n + i, T);
double l = 0, r = 10000, mid;
while (l + eps < r) {
mid = (l + r) / 2;
for (int i = 1, k = 0; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= n; ++j) k += 2, e[k].w = mid * b[i][j] - a[i][j], e[k ^ 1].w = a[i][j] - mid * b[i][j];
for (int i = 2; i <= tot; ++i) e[i].f = 0;
if (mcmf() > eps) r = mid; else l = mid;
}
printf("%.6lf", l);
return 0;
}
