10.算法的时间复杂度、空间复杂度

算法的时间复杂度：

基本案例：

计算1-100所有数字之和：

int total = 0;
int end = 100;
//  T(n) = n + 1
for (int i = 1; i <= end ; i++) {
   total+=i;
}
// T(n) = 1
total = (1+end)*end/2;

T(n)可忽略的项：

- 常数项：如：2n+20 和 2n 随着n 变大，执行曲线无限接近, 20可以忽略

- 低次项：如：2n^2+3n+10 和 2n^2 随着n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10

- 系数：如：随着n值变大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，执行曲线重合, 这种情况下, 5和3可以忽略

Ｏ( f(n) )  为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度

T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。

计算时间复杂度的方法：

- 用常数1代替运行时间中的所有加法常数  T(n)=n²+7n+6  => T(n)=n²+7n+1

- 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项  T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²

- 去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

常见的时间复杂度

常数阶O(1)

对数阶O(log2n)

线性阶O(n)

线性对数阶O(nlog2n)

平方阶O(n^2)

立方阶O(n^3)

k次方阶O(n^k)

指数阶O(2^n)

常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜Ο(2n) ，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低.

常数阶O(1):无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)

对数阶O(log2n):

//假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n
//也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n)  
int i = 1;
while(i<n){
    i = i * 2;
}

线性阶O(n):

//for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度
for (int i = 1; i <= n ; i++) {
   j++;
}

线性对数阶O(nlogN):将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

平方阶O(n²):如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(n*n)，即  O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)

立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k):O(n³)相当于三层n循环，其它的类似

平均时间复杂度和最坏时间复杂度

- 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。

- 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。

- 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关

算法的空间复杂度简介

- 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。

- 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况

- 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.