概率与期望

互斥事件：事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，也叫互不相容事件。 也可叙述为：不可能同时发生的事件。 如A∩B为不可能事件（A∩B=Φ），那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生。

对立事件：对立事件是指其中必有一个发生的两个 互斥事件 。

独立事件：所谓独立事件就是某事件发生的概率与其它任何事件都无关，用集合的概念解释即集合之内所有事件发生的可能性范围互不相交。

概率

条件概率公式：$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(B)}$

期望

在概率论和统计学中，数学期望(mathematic expectation)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。E(X)表示事件X的期望。

性质
1.E(X+Y)=E(X)+E(Y)
证明:
($P_i,Q_i$分别为X,Y第i个事件发生的概率）

左式=$\sum _i^j(X_i+Y_i)P_i{Q}_i$
=$\sum _i^j{X}_i{P}_i{Q}_j+\sum _i^j{Y}_i{P}_i{Q}_j$
=$\sum _i{X}_i{P}_i\sum _j{Q}_j+\sum _j{Y}_j{Q}_j\sum _i{P}_i$
=$\sum _i{X}_i{P}_i+\sum _j{Y}_j{Q}_j$
=$E(X)+E(Y)$

2.E(XY)=E(X)E(Y)
证明:
左式=$\sum _i^j{X}_i{Y}_i{P}_i{Q}_i$
=$\sum _i{X}_i{P}_i\sum _j{Y}_j{Q}_j$
=$E(X)E(Y)$

3.E(aX)=aE(X)
证明:
左式=$\sum _{i}a{X}_i{P}_i$
=$a\sum _i{X}_i{P}_i$