欧拉函数与欧拉定理

欧拉函数

一、定义

欧拉函数 $\phi (n)$表示1~n中与n互质的个数

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二、性质

以下涉及的数均为数论数.
(1)设p为素数,则$\phi (p)=p-1$

　　
(2)若m=m1*m2 则有:
　　1.若m1,m2有相同质因子,则$\phi (m)=m2\phi (m1)(m2<=m1)$
　　2.若m1,m2互质,则$\phi (m)=\phi (m1)\phi (m2),\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{欧}\mathrm{拉}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{是}\mathrm{不}\mathrm{完}\mathrm{全}\mathrm{积}\mathrm{性}\mathrm{函}\mathrm{数}$
　　

(3)p为素数,$\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$,因为只有p的倍数与其不互质。
　　
(4)设$n=\prod _{i=1}^k{p}_i^{a_i}$，
则$\phi (n)=\phi (\prod _{i=1}^k{p}_i^{a_i})$，
由（2.2）得$\prod _{i=1}^k\phi (p_i^{a_i})$,
由（3）得$\prod _{i=1}^k(p_i^{a_i}-p_i^{a_i-1})=\prod _{i=1}^k{p}_i^{a_i}(1-\frac{1}{p_i})=n\prod _i^k(1-\frac{1}{p_i})$
综上$\phi (n)=n\prod _i^k(1-\frac{1}{p_i})$
　　

所以对于求解欧拉函数,我们需要先进行质因数分解。

int euler(int x){
    int res = x;
    for(int i=2; i*i<=x; i++)
        if(x % i == 0){
             res = res / i * (i - 1);
             while(x % i == 0) x /= i;
         }
    if(x > 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;
}

或者用每个质数去对它的倍数做贡献.

for(int i=1; i<=maxn; ++i) phi[i] = i;
for(int i=2; i<=maxn; i+=2) phi[i] /= 2;
for(int i=3; i<=maxn; i+=2)
    if(phi[i] == i){
        for(int j=i; j<=maxn; j+=i)
            phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
    }

　　
　　
(5)设n是一个大于2的正整数，那么ϕ(n)是偶数。
证明:对于大于2的质数p,其一定是奇数,那么$\phi (p)=p-1$为偶数,
由(3)$\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$,
p=2时，$\phi （2^k）=2^k-2^{k-1}=2^{k-1}$是偶数，
对于大于2的素数p，$\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$,p为奇数，p的次方也为奇数，两个奇数相减为偶数,
所以$\phi (p^k)$为偶数。
又有积性性质$\phi (n)=\phi (\prod _{i=1}^k{p}_i^{a_i})=\prod _{i=1}^k\phi (p_i^{a_i})$，所以$\phi (n)$一定是偶数。
　　
　　
(6)对于n,有$n=\sum _{d|n}\phi (d)$
证明：
易得$\sum _{d|m}\phi (d)=\sum _{\frac{m}{d}|d}\phi (d)=\sum _d\phi (\frac{m}{d})$
对于任意$d|m,1\le a\le m$,设$gcd(a,m)=d$,则$gcd(\frac{a}{d},\frac{m}{d})=1$.一方面a有m个，另一方面,(按d=gcd(a,m)分类计数)满足gcd(a,m)=d的a有$\phi (\frac{m}{d})$种取法.故有$\sum _{d|m}\phi (\frac{m}{d})=m$
　　

欧拉定理

设gcd(a,m)=1,即a,m互质，则$a^{\phi (m)}\equiv 1$(mod m),特别的,当p为质数时,$a^{\phi (m)}\equiv 1(modp)⟹a^{p-1}\equiv 1(modm)⟹a^p\equiv a(modm)$

证明:
取模m的缩系 $a1,a2,..,a_{\phi (m)}$，则$aa1,aa2,..,a{a}_{\phi (m)}$也是模m的缩系.
所以$\prod _{i=1}^{\phi (m)}{a}_i\equiv \prod _{i=1}^{\phi (m)}a{a}_i\equiv a^{\phi (m)}\prod _{i=1}^{\phi (m)}{a}_i(modm)⟹a^{\phi }(m)\equiv 1(modm)$
特别地，当m=p(p为素数)时,$\phi (p)=p-1$，此时$a^{p-1}\equiv 1(modp)$