[欧拉函数] P2158 [SDOI2008] 仪仗队

题目描述
作为体育委员，C 君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的 N \times NN×N 的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C 君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐（如下图）。

现在，C 君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

输入格式
一行，一个正整数 N。

输入输出样例
输入
4
输出
9

通过观察，我们发现只有横纵坐标互质的点能够被看到，并且我们发现上图关于y=x对称。(注意：横纵坐标从0~n-1)
那问题转化为了求1~n-1中每个数的欧拉函数。
最终答案为和的二倍加一，因为对称轴上还有一个。

什么是欧拉函数？

欧拉函数：φ(n)表示1~n中与n互质的数的个数
How to read φ? (fai)

结论:

1：当n为质数时， $φ (n) = n - 1$
2： $φ (n) = \prod_{i = 1}^{k} p_{i}^{a - 1} \times (p_{i} - 1)$
3： $x, y 为质时, φ (x y) = ϕ (x) ϕ (y)$
4： 1~n中与n互质的数的和为 $φ (n) / 2 * n (n > 1)$
4：当n>=2是 $φ (n) 为偶数$
5：若p|n且 $p^{2}$ |n 则 $φ (n) = φ (\frac{n}{p}) * p$
6： $\sum_{d | n} φ (d) = n$

如何求欧拉函数？

n质因数分解可以表示为：
$n = \prod_{i = 1}^{k} p_{i}^{a_{i}}$

所以
$φ (n) = φ (\prod_{i = 1}^{k} p_{i}^{a_{i}}) = \prod_{i = 1}^{k} φ (p_{i}^{a_{i}})$

由性质2得
$φ (n) = \prod_{i = 1}^{k} p_{i}^{a_{i} - 1} * (p_{i} - 1) = \prod_{i}^{k} p_{i}^{a_{i}} * (1 - \frac{1}{p_{i}}) = n \prod_{i = 1}^{k} (1 - p_{i})$

综上欧拉函数公式为：
$φ (n) = n \prod_{i = 1}^{k} (1 - p_{i})$

那么代码显而易见。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=4e4+10;
int n;
int phi[N];
int main(){
	cin>>n;
	if(n==1)
	{
		printf("0");
		return 0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) phi[i]=i;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(phi[i]!=i) continue;
		for(int j=i;j<=n;j+=i) phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
	}
	int res=0;
	for(int i=1;i<n;i++) res+=phi[i];
	printf("%d",res*2+1);
	return 0;
}