2023/3/19 考试总结

其实今天没有什么好说的，四个半小时全在做第一题
前两个小时在推式子，但其中一个半小时的式子是没用的。
这时候突然知道正解怎么做了，发现是道水题，就花了一个半小时将代码打完了，结果过不了小样例，又花了一个小时，但结束了都没调出来。
下来一看，整场比赛有两道题可做，而且两道的思路都很简单，但T1非常难实现。
所以每道题看完题了以后还是要稍微想一想，如果有大概方向的话甚至可以多想想，不过一定不能想太久，稍微想一想，如果不是完全想出正解的话一定要再去康康其它的题目。
记录一下技巧：
平面上的位移可以考虑相对运动。
如果问题可以转化为矩阵的乘法，那么一定要注意逆矩阵抵消贡献的技巧（具体看代码，虽然我的做法不太是矩阵，但异曲同工）：

1|0题目

1|1动点（point）

时间限制：3s

空间限制：512MiB

1|0题目背景

本来准备放一道数值算法题，可惜这里位置太小…

1|0题目描述

我们定义两类用于移动平面上一点 $P$ 的指令 $\lang\cdot\rang$ 和 $[\cdot]$ ：

$\lang p,q,t \rang$ 表示将 $P$ 绕点 $(p,q)$ 逆时针旋转 $\frac{t}{1800}$ 倍平角（即弧度制的 $\frac{t\pi}{1800}$ 或角度制的 $t\times 0.1^\circ$ ）；
$[a,b,c]$ 表示将 $P$ 移动到直线 $ax+by+c=0$ 上与 $P$ 距离最小的点（这里保证 $a,b$ 不全为零）。

现在给出一个长为 $n$ 的指令序列 $g$ ，现在你需要完成以下几种操作：

1 l r u v 表示对于下标在 $[l,r]$ 中的指令，将所有一类指令里的点 $(p,q)$ 、二类指令里的直线 $ax+by+c=0$ 沿着向量 $(u,v)$ 平移；
2 l r u v w 表示对于下标在 $[l,r]$ 中的指令，将所有一类指令里的点 $(p,q)$ 、二类指令里的直线 $ax+by+c=0$ 沿着直线 $ux+vy+w=0$ 翻折（这里保证 $u,v$ 不全为零）；
3 l r x y 表示对点 $P=(x,y)$ 从左到右依次执行 $g_l,g_{l+1},\dots,g_r$ ，询问最终 $P$ 被移动到了哪里。

1|0输入格式

第一行两个正整数 $n,m$ （ $1 \le n,m \le 10^5$ ）， $n$ 表示指令序列的长度， $m$ 表示操作次数。

接下来 $n$ 行，每行四个整数：1 p q t 表示指令 $\lang p,q,t \rang$ ，2 a b c 表示指令 $[a,b,c]$ 。

接下来 $m$ 行，每行若干整数，表示一个操作，形式如题面所述。

1|0输出格式

输出若干行，每行两个浮点数，表示每次询问最终点的坐标。当你的答案与标准答案的相对或绝对误差小于 $\epsilon=10^{-5}$ 时认为你的答案正确。

1|0样例

1|0样例输入 #1

3 6
2 1 1 1
1 2 2 900
2 2 -1 0
3 1 1 -1 -1
3 1 3 -1 -1
1 1 2 1 1
3 1 2 -1 -1
2 3 3 1 -1 0
3 2 3 -1 -1

1|0样例输出 #1

-0.5 -0.5
0.7 1.4
5.5 0.5
5.2 2.6

1|0样例解释 #1

输入文件第 6 行中，询问点 $(-1,-1)$ 依次执行 $g_1,g_2,g_3$ 后得到的点。在执行 $g_1$ 后点位于 $(-0.5,-0.5)$ ，执行 $g_2$ 后位于 $(4.5,-0.5)$ ，执行 $g_3$ 后位于 $(0.7,1.4)$ ，故输出文件第二行为 0.7 1.4；

输入文件第 7 行中，将 $g_1$ 变为了 $[1,1,-1]$ ，将 $g_2$ 变为了 $\lang 3,3,900\rang$ ；

输入文件第 9 行中，将 $g_3$ 变为了 $[1,-2,0]$ 。

1|0测试点约束

本题共 $25$ 个测试点，每个测试点 $4$ 分。约束如下：

测试点编号	$n \le$	$m \le$	特殊性质
1	$100$	$100$	-
2	$100$	$100$	-
3	$100$	$100$	-
4	$100$	$100$	-
5	$1000$	$3000$	-
6	$1000$	$3000$	-
7	$3000$	$3000$	-
8	$3000$	$3000$	-
9	$3000$	$10000$	A,C
10	$3000$	$10000$	A,C
11	$50000$	$10000$	B,C
12	$50000$	$10000$	B,C
13	$50000$	$50000$	C
14	$50000$	$50000$	C
15	$50000$	$50000$	-
16	$50000$	$50000$	-
17	$50000$	$50000$	-
18	$100000$	$100000$	B,C
19	$100000$	$100000$	B,C
20	$100000$	$100000$	A
21	$100000$	$100000$	A
22	$100000$	$100000$	-
23	$100000$	$100000$	-
24	$100000$	$100000$	-
25	$100000$	$100000$	-

特殊性质 A：保证没有一类指令。

特殊性质 B：保证没有一类操作。

特殊性质 C：保证没有二类操作。

保证 $1 \le l \le r \le n$ ，保证所有输入均为绝对值不超过 $10^9$ 的整数。

2|0官方题解

2|1题解 - 山路动点（point）

首先不管修改操作，只考虑询问。不难想到用矩阵处理：

沿着向量 $v$ 平移： $x \leftarrow x+v_x$ ， $y \leftarrow y+v_y$
逆时针旋转 $\theta$ ： $x \leftarrow x\cos \theta -y \sin \theta$ ， $y \leftarrow y \cos \theta + x \sin \theta$
投影到方向 $v$ 上：点乘 $v$ 后数乘 $v$ ，再数乘一个 $\frac{1}{|v|^2}$

以上都可以表示为向量 $(x,y,1)$ 左乘矩阵，而两类指令都可以表示为上面的过程的组合。因此考虑线段树维护矩阵乘积。

再考虑如何把操作加入。一个基本的思想是，操作时我们不显式地更改指令，而是尝试更改坐标系。对于平移操作，我们完全可以先将点 $P$ 沿着逆方向平移，完成指令后再沿着正方向平移回来。写成矩阵形式就是把原来的指令矩阵 $M$ 变成 $DMD^{-1}$ ，其中 $D$ 为沿着向量 $(u,v)$ 平移对应的矩阵。这个很容易往线段树上打个乘法标记维护。对于翻折操作也是差不多的，我们可以尝试先把点翻过去，执行完指令再翻回来。需要注意的是在点翻到镜像位置之后，原有的旋转操作就需要把逆时针转变成顺时针转了。不过这还是很好办，我们对旋转维护 $M,M'$ 分别表示逆时针、顺时针转对应的矩阵即可。那么翻折操作就是把 $M$ 变为 $RM'R$ ，把 $M'$ 变为 $RMR$ ，其中 $R$ 是翻折对应的矩阵。

这题没怎么卡精度，应该不需要 long double 就能过。

3|0代码

// ubsan: undefined
// accoders
/*
(x, y) (p, q)
(x - p, y - q)
l = sqrt((x - p)^2 + (y - q)^2)
(l * cos(A + B), l * sin(A + B))
(l * (cos(A) * cos(B) - sin(A) * sin(B)), l * (sin(A) * cos(B) + sin(B) * cos(A)))
((x - p) * cos(B) - (y - q) * sin(B), (y - q) * cos(B) + (x - p) * sin(B))
(x * cos(B) - y * sin(B) + (1 - cos(B)) * p + q * sin(B), x * sin(B) + y * cos(B) - p * sin(B) + q* (1 -
cos(B)))


(m, n) ax + by + c = 0
-bx + ay + z = 0
z = bx - ay
z = bm - an
-bx + ay + (bm - an) = 0

xby + ((a^2) / b)y + (bm - an) * (a / b) + c = 0
((a^2 + b^2) / b)y + am - (a^2 / b) * n + c = 0
y = ((a^2)n - abm - bc) / (a^2 + b^2)

ax + (b^2 / a)x - (bm - an) * (b / a) + c = 0
((a^2 + b^2) / a)x - (b^2 / a)m + bn + c = 0
x = (-abn + (b^2)m - ac) / (a^2 + b^2)


x = (-uvn + (v^2)m - uw) / (u^2 + v^2)
y = ((u^2)n - uvm - vw) / (u^2 + v^2)

2x - m = (-2uvn + ((v^2) - (u^2))m - 2uw) / (u^2 + v^2)
2y - n = (((u^2) - (v^2))n - 2uvm - 2vw) / (u^2 + v^2)
*/

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <random>
#include <cmath>
using namespace std;

#define MAXN 100000
#define PI 3.14159265358979328346264

struct polynomial {
    double a = 0, b = 0, c = 0;

    polynomial() {}
    polynomial(double A, double B, double C) {
        a = A;
        b = B;
        c = C;
    }
};
mt19937 r(20061206);
struct fhq {
    int son[2];
    bool lazy = 0;
    pair<polynomial, polynomial> v[2], sum[2], lazy1, lazy2;
    int num = 0;
    int key = r();
} s[MAXN + 5];
int rt;
int tot = 0;

int newfhq(pair<polynomial, polynomial> v1, pair<polynomial, polynomial> v2) {
    ++tot;
    s[tot].son[0] = s[tot].son[1] = 0;
    s[tot].v[0] = s[tot].sum[0] = v1;
    s[tot].v[1] = s[tot].sum[1] = v2;
    s[tot].lazy = 0;
    s[tot].lazy1 = make_pair(polynomial(1, 0, 0), polynomial(0, 1, 0));
    s[tot].lazy2 = make_pair(polynomial(1, 0, 0), polynomial(0, 1, 0));
    s[tot].num = 1;

    return tot;
}
pair<polynomial, polynomial> operator*(pair<polynomial, polynomial> a, pair<polynomial, polynomial> b) {
    pair<polynomial, polynomial> c;

    c.first.a = a.first.a * b.first.a + a.second.a * b.first.b;
    c.first.b = a.first.b * b.first.a + a.second.b * b.first.b;
    c.first.c = a.first.c * b.first.a + a.second.c * b.first.b + b.first.c;
    c.second.a = a.first.a * b.second.a + a.second.a * b.second.b;
    c.second.b = a.first.b * b.second.a + a.second.b * b.second.b;
    c.second.c = a.first.c * b.second.a + a.second.c * b.second.b + b.second.c;

    return c;
}

void download(int p) {
    if (!p) {
        return;
    }
    if (s[p].son[0]) {
        s[s[p].son[0]].sum[0] = s[p].lazy1 * s[s[p].son[0]].sum[0] * s[p].lazy2;
        s[s[p].son[0]].v[0] = s[p].lazy1 * s[s[p].son[0]].v[0] * s[p].lazy2;
        s[s[p].son[0]].sum[1] = s[p].lazy1 * s[s[p].son[0]].sum[1] * s[p].lazy2;
        s[s[p].son[0]].v[1] = s[p].lazy1 * s[s[p].son[0]].v[1] * s[p].lazy2;
        s[s[p].son[0]].lazy1 = s[p].lazy1 * s[s[p].son[0]].lazy1;
        s[s[p].son[0]].lazy2 = s[s[p].son[0]].lazy2 * s[p].lazy2;
        if (s[p].lazy) {
            swap(s[s[p].son[0]].sum[0], s[s[p].son[0]].sum[1]);
            swap(s[s[p].son[0]].v[0], s[s[p].son[0]].v[1]);
            s[s[p].son[0]].lazy ^= 1;
        }
    }
    if (s[p].son[1]) {
        s[s[p].son[1]].sum[0] = s[p].lazy1 * s[s[p].son[1]].sum[0] * s[p].lazy2;
        s[s[p].son[1]].v[0] = s[p].lazy1 * s[s[p].son[1]].v[0] * s[p].lazy2;
        s[s[p].son[1]].sum[1] = s[p].lazy1 * s[s[p].son[1]].sum[1] * s[p].lazy2;
        s[s[p].son[1]].v[1] = s[p].lazy1 * s[s[p].son[1]].v[1] * s[p].lazy2;
        s[s[p].son[1]].lazy1 = s[p].lazy1 * s[s[p].son[1]].lazy1;
        s[s[p].son[1]].lazy2 = s[s[p].son[1]].lazy2 * s[p].lazy2;
        if (s[p].lazy) {
            swap(s[s[p].son[1]].sum[0], s[s[p].son[1]].sum[1]);
            swap(s[s[p].son[1]].v[0], s[s[p].son[1]].v[1]);
            s[s[p].son[1]].lazy ^= 1;
        }
    }
    s[p].lazy1 = make_pair(polynomial(1, 0, 0), polynomial(0, 1, 0));
    s[p].lazy2 = make_pair(polynomial(1, 0, 0), polynomial(0, 1, 0));
    s[p].lazy = 0;
}
void upload(int p) {
    s[p].num = s[s[p].son[0]].num + 1 + s[s[p].son[1]].num;
    if (s[p].son[0]) {
        s[p].sum[0] = s[s[p].son[0]].sum[0] * s[p].v[0];
        s[p].sum[1] = s[s[p].son[0]].sum[1] * s[p].v[1];
    } else {
        s[p].sum[0] = s[p].v[0];
        s[p].sum[1] = s[p].v[1];
    }
    if (s[p].son[1]) {
        s[p].sum[0] = s[p].sum[0] * s[s[p].son[1]].sum[0];
        s[p].sum[1] = s[p].sum[1] * s[s[p].son[1]].sum[1];
    }
}

void split(int p, int &l, int &r, int loc) {
    if (!p) {
        l = r = 0;

        return;
    }
    download(p);
    if (s[s[p].son[0]].num + 1 < loc) {
        l = p;
        split(s[p].son[1], s[l].son[1], r, loc - (s[s[p].son[0]].num + 1));
        upload(l);
    } else {
        r = p;
        split(s[p].son[0], l, s[r].son[0], loc);
        upload(r);
    }
}
int merge(int l, int r) {
    if (l == 0 || r == 0) {
        return l + r;
    }
    if (s[l].key > s[r].key) {
        download(l);
        s[l].son[1] = merge(s[l].son[1], r);
        upload(l);

        return l;
    } else {
        download(r);
        s[r].son[0] = merge(l, s[r].son[0]);
        upload(r);

        return r;
    }
}

void insert(pair<polynomial, polynomial> v1, pair<polynomial, polynomial> v2, int loc) {
    int h, t;

    split(rt, h, t, loc);
    rt = merge(h, merge(newfhq(v1, v2), t));
}
void change(int l, int r, pair<polynomial, polynomial> v1, pair<polynomial, polynomial> v2, bool flag) {
    int h, mid, t;

    split(rt, h, t, r + 1);
    split(h, h, mid, l);
    s[mid].lazy1 = v1 * s[mid].lazy1;
    s[mid].lazy2 = s[mid].lazy2 * v2;
    s[mid].sum[0] = v1 * s[mid].sum[0] * v2;
    s[mid].v[0] = v1 * s[mid].v[0] * v2;
    s[mid].sum[1] = v1 * s[mid].sum[1] * v2;
    s[mid].v[1] = v1 * s[mid].v[1] * v2;
    if (flag) {
        s[mid].lazy ^= 1;
        swap(s[mid].v[0], s[mid].v[1]);
        swap(s[mid].sum[0], s[mid].sum[1]);
    }
    rt = merge(h, merge(mid, t));
}
pair<double, double> ask(int l, int r, double x, double y) {
    int h, mid, t;
    pair<double, double> ans;

    split(rt, h, t, r + 1);
    split(h, h, mid, l);
    ans.first = s[mid].sum[0].first.a * x + s[mid].sum[0].first.b * y + s[mid].sum[0].first.c;
    ans.second = s[mid].sum[0].second.a * x + s[mid].sum[0].second.b * y + s[mid].sum[0].second.c;
    rt = merge(h, merge(mid, t));

    return ans;
}

int main() {
    freopen("point.in", "r", stdin);
    freopen("point.out", "w", stdout);

    int n, m;

    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int opt;

        scanf("%d", &opt);
        if (opt == 1) {
            double u, v, t;
            double A;

            scanf("%lf %lf %lf", &u, &v, &t);

            A = t * PI / 1800;

            pair<polynomial, polynomial> v1 =
                make_pair(polynomial(cos(A), -sin(A), (1 - cos(A)) * u + v * sin(A)),
                          polynomial(sin(A), cos(A), -u * sin(A) + v * (1 - cos(A))));
            pair<polynomial, polynomial> v2 =
                make_pair(polynomial(cos(-A), -sin(-A), (1 - cos(-A)) * u + v * sin(-A)),
                          polynomial(sin(-A), cos(-A), -u * sin(-A) + v * (1 - cos(-A))));

            insert(v1, v2, i);
        } else if (opt == 2) {
            double u, v, w;

            scanf("%lf %lf %lf", &u, &v, &w);
            insert(make_pair(polynomial((v * v) / (u * u + v * v), -(u * v) / (u * u + v * v),
                                        -u * w / (u * u + v * v)),
                             polynomial(-u * v / (u * u + v * v), (u * u) / (u * u + v * v),
                                        -v * w / (u * u + v * v))),
                   make_pair(polynomial((v * v) / (u * u + v * v), -(u * v) / (u * u + v * v),
                                        -u * w / (u * u + v * v)),
                             polynomial(-u * v / (u * u + v * v), (u * u) / (u * u + v * v),
                                        -v * w / (u * u + v * v))),
                   i);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int opt;

        scanf("%d", &opt);
        if (opt == 1) {
            int l, r;
            double u, v;

            scanf("%d %d %lf %lf", &l, &r, &u, &v);
            change(l, r, make_pair(polynomial(1, 0, -u), polynomial(0, 1, -v)),
                   make_pair(polynomial(1, 0, u), polynomial(0, 1, v)), 0);
        } else if (opt == 2) {
            int l, r;
            double u, v, w;

            scanf("%d %d %lf %lf %lf", &l, &r, &u, &v, &w);

            pair<polynomial, polynomial> value =
                make_pair(polynomial(((v * v) - (u * u)) / (u * u + v * v), -2 * u * v / (u * u + v * v),
                                     -2 * u * w / (u * u + v * v)),
                          polynomial(-2 * u * v / (u * u + v * v), ((u * u) - (v * v)) / (u * u + v * v),
                                     -2 * v * w / (u * u + v * v)));

            change(l, r, value, value, 1);
        } else {
            int l, r;
            double x, y;
            pair<double, double> ans;

            scanf("%d %d %lf %lf", &l, &r, &x, &y);
            ans = ask(l, r, x, y);
            printf("%.8lf %.8lf\n", ans.first, ans.second);
        }
    }
}

__EOF__

本文作者：FlowerDream
本文链接：https://www.cnblogs.com/flower-dream/p/17234584.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！

posted @ 2023-03-19 22:20 小篪篪阅读(30) 评论(0) 编辑收藏举报

刷新页面返回顶部

登录后才能查看或发表评论，立即登录或者逛逛博客园首页

相关博文：

· 2023/3/17 做题技巧总结

· trick记录

· Test 2022.09.23

· 2023.02.16 模拟赛小结

· 2023武汉联训

阅读排行：
· 地球OL攻略 —— 某应届生求职总结
· 周边上新：园子的第一款马克杯温暖上架
· Open-Sora 2.0 重磅开源！
· 提示词工程——AI应用必不可少的技术
· .NET周刊【3月第1期 2025-03-02】

公告

2023/3/19 考试总结

发表于 2023-03-19 22:20阅读：30评论：0推荐：0

关注

跳至底部

昵称：小篪篪
园龄： 4年4个月
粉丝： 10
关注： 2

+加关注

小篪篪

2023/3/19 考试总结

1|0题目

1|1动点（point）

1|0题目背景

1|0题目描述

1|0输入格式

1|0输出格式

1|0样例

1|0样例输入 #1

1|0样例输出 #1

1|0样例解释 #1

1|0测试点约束

2|0官方题解

2|1题解 - 山路动点（point）

3|0代码

公告

FlowerDream

2023/3/19 考试总结

搜索

常用链接

我的标签

随笔档案

阅读排行榜

评论排行榜

推荐排行榜

最新评论