【LeetCode-动态规划】最长公共子序列
题目描述
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。
若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。
示例：
输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。
输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc"，它的长度为 3。
输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0。
说明：
- 1 <= text1.length <= 1000
- 1 <= text2.length <= 1000
- 输入的字符串只含有小写英文字符。
题目链接： https://leetcode-cn.com/problems/longest-common-subsequence/
思路
这题是最长公共子串问题，也被称为 LCS （Longest Common Subsequence）问题，可以使用动态规划来做。假设两个字符串分别为 text1 和 text2：
- 状态定义：dp[i][j] 表示 text1 在 [0, i] 范围内的子串和 text2 在 [0, j] 范围内的子串的 LCS；
- 状态转移：
- 如果 text1[i-1]==text2[j-1]，那么说明我们找到了公共子串中的一个字符，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1；
- 否则，如果 text1[i-1]!=text2[j-1]，则 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])；
- 边界条件：如果两个字符串有一个为空，则 LCS 的长度就为 0，也就是 dp[0][.] = dp[.][0] = 0；
代码如下：
class Solution {
public:
int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
if(text1.empty() || text2.empty()) return 0;
int m = text1.size();
int n = text2.size();
vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1, 0));
for(int i=1; i<=m; i++){
for(int j=1; j<=n; j++){
if(text1[i-1]==text2[j-1]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}
}
return dp[m][n];
}
};
我们注意到，两个字符串的长度分别是 m 和 n，但是 dp 数组的形状是 dp[m+1][n+1]，这样做相当于分别在两个字符串开头添加了空串，能简化代码。不添加空串的代码可参考这篇题解。
- 时间复杂度：O(mn)
- 空间复杂度：O(mn)
拓展
假如题目不要求返回最长公共子串的长度，而要求返回具体的公共子串。这种情况下，我们可以设置两个变量：end 表示公共子串在 text2 的结尾的位置，maxLen 记录公共子串的长度。当计算出新的 dp[i][j] 时，如果 dp[i][j]>maxLen，则我们更新 maxLen 为 dp[i][j]，并且设置 end 为 j-1。循环结束时，如果 maxLen=0，则返回空串，否则，返回 text2.substr(end-maxLen+1, maxLen) 即可。
代码如下：
class Solution {
public:
int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
if(text1.empty() || text2.empty()) return 0;
int end = 0;
int maxLen = 0;
int m = text1.size();
int n = text2.size();
vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1, 0));
for(int i=1; i<=m; i++){
for(int j=1; j<=n; j++){
if(text1[i-1]==text2[j-1]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
if(dp[i][j]>maxLen){
maxLen = dp[i][j];
end = j-1;
}
}
}
if(maxLen==0) return "";
else return text2.substr(end-maxLen+1, maxLen);
}
};
