【LeetCode-动态规划】不同的二叉搜索树

题目描述

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？
示例：

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

题目链接： https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/

思路

使用 dp[n] 表示以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树的种数，使用 f(i) 表示以 i 为根结点的二叉搜索树的种数。则有

\[dp[n] = f(1)+f(2)+\dots+f(n) \]

当以 i 为根结点时，左子树共 i-1 个节点，右子树共 n-i 个节点，所以有

\[f(i) = dp[i-1]*dp[n-i] \]

综合上面两个式子，有

\[dp[n] = dp[0]*dp[n-1] + dp[1]*dp[n-2] + \dots + dp[n-1]*dp[0] \]

dp[n] 被称为“卡塔兰数”。
代码如下：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        if(n==0) return 1;

        vector<int> dp(n+1, 0);
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;

        for(int i=2; i<n+1; i++){
            for(int j=1; j<i+1; j++){
                dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

或者这样写：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n+1, 0);
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i=2; i<=n; i++){
            for(int j=0; j<i; j++){
                dp[i] += dp[j]*dp[i-j-1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(n)

参考

1、https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/solution/bu-tong-de-er-cha-sou-suo-shu-by-leetcode/
2、https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/solution/hua-jie-suan-fa-96-bu-tong-de-er-cha-sou-suo-shu-b/