【LeetCode-动态规划】编辑距离

题目描述

给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

• 插入一个字符
• 删除一个字符
• 替换一个字符

示例：

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')

题目链接： https://leetcode-cn.com/problems/edit-distance/

思路

使用动态规划来做。

• 状态定义：使用 dp[i][j] 代表 word1 的前 i 的字符和 word2 的前 j 个字符之间的编辑距离；
• 边界条件：如果两个字符串中有一个为空，则两者的编辑距离就是不为空的那个字符串的长度，所以有 dp[i][0]=i, dp[0][j]=j；
• 状态转移：
  • dp[i][j] = dp[i-1][j]+1，含义是 word1 的前 i 个字符和 word2 的前 j 个字符之间的编辑距离等于 word1 的前 i-1 个字符和 word2 的前 j 个字符之间的编辑距离加 1，因为在 word1 之后添加一个字符或者在 word2 之后删除一个字符只需要一步操作；
  • dp[i][j] = dp[i][j-1]+1，含义和上一步类似；
  • dp[i][j] = dp[i-1][j-1] 或者 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。这一步代表着替换操作，如果 word1[i]==word2[j]，那么 dp[i][j] = dp[i-1][j-1]；如果 word1[i]!=word2[j]，那么需要进行一步替换操作，也就是 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1；

代码如下：

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int m = word1.length();
        int n = word2.length();

        if(m==0) return n;
        if(n==0) return m;

        vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1, 0)); // dp 维度为(m+1,n+1)，不是(m,n)
        for(int i=0; i<m+1; i++){
            dp[i][0] = i;
        }
        for(int j=0; j<n+1; j++){
            dp[0][j] = j;
        }

        for(int i=1; i<m+1; i++){   // 是m+1，不是m
            for(int j=1; j<n+1; j++){    //是n+1，不是n
                int a = dp[i][j-1] + 1;
                int b = dp[i-1][j] + 1;
                int c = dp[i-1][j-1];
                if(word1[i-1]!=word2[j-1]) c++;
                dp[i][j] = min(min(a, b), c);
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

• 时间复杂度：O(mn)
• 空间复杂度：O(mn)