欧拉函数及模板

欧拉函数

• 什么是欧拉函数
• 怎么计算欧拉函数
• 欧拉函数三种常用模板
• • 素因数分解求欧拉函数
  • 欧拉函数值打表
  • 欧拉筛型欧拉函数

什么是欧拉函数

欧拉函数是小于x的整数中与x互质的数的个数，一般用φ(x)表示。特殊的，φ(1)=1。
例如，φ(12)=4 {1,5,7,11}

怎么计算欧拉函数

φ(x)=X*(1-$\frac{1}{p1}$) * (1-$\frac{1}{p2}$) * … * (1-$\frac{1}{pi}$)

其中p1,p2,p3…pi为x的所有质因数（指能整除给定正整数的质数），x是正整数。
比如x=12，12以内有$\frac{1}{2}$的数是2的倍数，还剩下(1,3,5,7,9,11)6个数，这六个数里面又有$\frac{1}{3}$的数是3的倍数还剩下(1,5,7,11)4个数，即4个数与12互质，所以φ(12)=4。

欧拉函数三种常用模板

素因数分解求欧拉函数

int phi(int n) {
	int ans = n;
	for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
		if (n % i == 0) {
			ans -= ans / i;//遇到质因数,即X*1/pi
			while (n % i == 0) {
				n /= i;
			}
		}
	}
	if (n > 1)//若n不为1，则还剩下一位质因子
		ans -= ans / n;
	return ans;
}

欧拉函数值打表

int phi[1000010];
void euler(int n) {
	for (int i=1; i<=n; i++) phi[i]=i;//初始化
	for (int i=2; i<=n; i++) {
		if (phi[i]==i) { //这代表i是质数
			for (int j=i; j<=n; j+=i) {
				phi[j]=phi[j]/i*(i-1);//此时将素数i的所有倍数全部运用一下
				//欧拉公式中的n*(pi-1)/pi,在这里即phi[j] = phi[j] / i * (i - 1)
			}
		}
	}
}

欧拉筛型欧拉函数

#define MAXN 10000000 
int phi[MAXN];//即求出的欧拉函数
int flag[MAXN];
int prime[MAXN];//素数表
void euler(int n) {
	phi[1]=1;//1要特判
	int num=0;//记录质数总数
	for (int i=2; i<=n; i++) {
		if (flag[i]==0) { //这代表i是质数
			prime[++num]=i;//记录质数
			phi[i]=i-1;//质数的欧拉函数为本身减1
		}
		for (int j=1; j<=num&&prime[j]*i<=n; j++) { //经典的欧拉筛写法
			flag[i*prime[j]]=1;//先把这个合数标记掉，每个数只由最小质因子筛一次
			if (i%prime[j]==0) {
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];//若prime[j]是i的质因子
				//则根据计算公式，i已经包括i*prime[j]的所有质因子
				break;//经典欧拉筛的核心语句，这样能保证每个数只会被自己最小的因子筛掉一次
			} 
			else
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]]; //利用了欧拉函数是个积性函数的性质
				//φ(m*n)=φ(m)*φ(n)
		}
	}
}

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