最短路之SPFA算法
存储图的方式（1.链式向前星2.二维数组）
适用范围
给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法就不能用了
算法思想
我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止
实现方法
建立一个队列，初始时队列里只有起始点，再建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行松弛操作，用队列里有的点作为起始点去刷新到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空。
首先建立起始点a到其余各点的
最短路径表格
首先源点a入队，当队列非空时：
１、队首元素（a）出队，对以a为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有b,c,d三个点），此时路径表格状态为：
在松弛时三个点的最短路径估值变小了，而这些点队列中都没有出现，这些点
需要入队，此时，队列中新入队了三个结点b,c,d
队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，e的最短路径估值也变小了，e在队列中不存在，因此e也要
入队，此时队列中的元素为c，d，e
队首元素c点出队，对以c为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有e,f两个点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，e，f的最短路径估值变小了，e在队列中存在，f不存在。因此
e不用入队了，f要入队，此时队列中的元素为d，e，f
队首元素d点出队，对以d为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，g的最短路径估值没有变小（松弛不成功），没有新结点入队，队列中元素为f，g
队首元素f点出队，对以f为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有d，e，g三个点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，e，g的最短路径估值又变小，队列中无e点，e入队，队列中存在g这个点，g不用入队，此时队列中元素为g，e
队首元素g点出队，对以g为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有b点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，b的最短路径估值又变小，队列中无b点，b入队，此时队列中元素为e，b
队首元素e点出队，对以e为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，g的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列中元素为b
队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e这个点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，e的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列为空了
最终a到g的最短路径为14
SPFA算法模板
1
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define MAXN 100000
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
struct edge {
int to; //边的终点
int next; //上一条边的标号
int w; //边权
} E[MAXN];
int cnt=0;
int head[MAXN];
int d[MAXN];
bool vis[MAXN];
void add(int u,int v,int w) { //链式向前星
E[cnt].to=v;
E[cnt].w=w;
E[cnt].next=head[u];
head[u]=cnt++;
}
void init() {
for(int i=0; i<MAXN; i++) {
d[i]=INF;
vis[i]=0;
head[i]=-1;
}
cnt=0;
}
void SPFA(int s) {//以s为源
d[s]=0;
vis[s]=1;
queue<int> q;
q.push(s);
while(!q.empty()) {
int u=q.front();
q.pop();
vis[u]=0;
for(int i=head[u]; i!=-1; i=E[i].next) {
int v=E[i].to;
int w=E[i].w;
if(d[v]>d[u]+w) {
d[v]=d[u]+w;
if(!vis[v]) {
vis[v]=1;
q.push(v);
}
}
}
}
}
int main(){
for(int i=1;i<=11;i++){
int u,v,w;
cin>>u>>v>>w;
add(u,v,w);//存图u起点，v终点，w权
}
SPFA(1);//以1为源，自行更改
for(int i=1;d[i]!=INF;i++){
cout<<d[i]<<endl;
}
}
2
#include<iostream>
#include<queue>
#include<string.h>
#define MAXN 1000
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n,m;
int d[MAXN],vis[MAXN],a[MAXN][MAXN];
void SPFA(int s) {
for(int i=0; i<MAXN; i++) {
d[i]=INF;
vis[i]=0;
}
d[s]=0;
vis[s]=1;
queue<int>ac;
ac.push(s);
while(!ac.empty()) {
int actop=ac.front();
ac.pop();
vis[actop]=0;
for(int i=1; i<=n; i++) {
if(d[i]>d[actop]+a[actop][i] && a[actop][i]!=0) {//如果有负的这里特判a[actop][i]!=xxxx
d[i]=d[actop]+a[actop][i];
if(vis[i]==0) {
ac.push(i);
vis[i]=1;
}
}
}
}
}
int main() {
cin>>n>>m;
for(int i=1; i<=m; i++) {
int a1,b,c;
cin>>a1>>b>>c;
a[a1][b]=c;
}
SPFA(1);
for(int i=1; i<=n; i++)
cout<<d[i]<<endl;
}
