【最短路算法】Dijkstra+heap和SPFA的区别

单源最短路问题(SSSP)常用的算法有Dijkstra，Bellman-Ford，这两个算法进行优化，就有了Dijkstra+heap、SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)算法。这两个算法写起来非常相似。下面就从他们的算法思路、写法和适用场景上进行对比分析。如果对最短路算法不太了解，可先看一下相关ppt:最短路

为了解释得简单点，以及让对比更加明显，我就省略了部分细节。

我们先看优化前的：

$O(V^2 + E)$的Dijkstra

n-1次循环

-->找到未标记的d最小的点

-->标记，松弛它的边

$O(VE)$的Bellman-Ford

n-1次循环

-->对所有边松弛

还能再松弛则有负环

• Dijkstra是每次确定了到一个点的最短距离，再用该点更新到其它点的距离。不能处理有负边的图。
• Bellman-Ford是每次对所有边松弛。可以计算出有负边无负环的最短路，可以判断是否存在负环。

接下来再看优化后的：

$O((V + E)lgV)$的Dijkstra+heap优化

用STL中的优先队列实现堆：
while(优先队列非空)

-->队头出队，松弛它的边

-->松弛了的<新距离,点>入队

删了部分定义和初始化的代码：

typedef pair<int,int> PII;
priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII> > q;
...
while(!q.empty()){  // O(V) 加上count<n可以优化一点点 
    int w=q.top().first, u=q.top().second;
    q.pop();   // O(lgV)
    if(b[u])continue; b[u]=true;
    //++count;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next){ // Sum -> O(E)
        int v=e[i].to;
        if(d[u]+e[i].w<d[v]){
            d[v]=d[u]+e[i].w;
            q.push(PII(d[v],v));  // O(lgV)
        }
    }
}

$O(kE)$$O(VE)$的SPFA

while(队非空)

-->队头出队，松弛它的边

-->松弛了且不在队内的点入队

while(!q.empty()){
    int u=q.front(); q.pop();
    b[u]=false;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if(d[u]+e[i].w<d[v]){
            d[v]=d[u]+e[i].w;
            if(!b[v])b[v]=true,q.push(v);
        }
    }
}

算法思路对比

• Dijkstra+heap是用小根堆，每次取出d最小的点，来更新距离，那么这个点来说，最小距离就是当前的d。
• SPFA是用双端队列，每次取出队头，来更新距离，它之后可能还会入队。它是一种动态逼近法，因为每次松弛距离都会减小，所以松弛一定会有结束的。如果一个点入队超过n次就是存在负环。

复杂度分析对比

Dijkstra+heap

• 因为是堆，取队头需要O(lgV)。
• 松弛边时，因为点的d改变了，所以点v需要以新距离重新入堆，O(lgV)，总共O(ElgV)。
• 因此总的是$O((V + E)lgV)$

SPFA

• 论文证明也不严格。复杂度不太好分析。
• 总的是O(kE)。k大概为2。
• 复杂度应该是 $O(VE)$。

适用场景

如果是稠密图，Dijkstra+heap比SPFA快。稀疏图则SPFA更快。SPFA可以有SLF和LLL两种优化，SLF就是d比队头小就插入队头，否则插入队尾。

另外，Dijkstra和Prim也很相似，它们的区别主要是d的含义，前者是到s的临时最短距离，后者是到树的临时最短距离，相同点是，每次找d最小的更新其它点的距离。