【POJ 1061】青蛙的约会
Description
两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input
输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L,其中x≠y < 2000000000,0 < m、n < 2000000000,0 < L < 2100000000。
Output
输出碰面所需要的跳跃次数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
Sample Input
1 2 3 4 5
Sample Output
4
题意:
起点分别为x,y,一次分别往前跳m,n米,前进的路是环形,长度为L,求跳几次后重合,或不可能重合。
分析:
重合时跳了t次,可得(x+mt)%L=(y+nt)%L
因此x-y+(m-n)t=kL (其中k为一个整数)即
Lk+(n-m)t=x-y
形式上和 ax+ by=c 相同
这个式子里L、n-m、x-y分别为系数a、b、c,未知量k和t为方程的x和y,因此只要求解不定方程ax+by=c的y的最小正整数解即可。
接下来要用到扩展欧几里德算法解同余线性方程。
求出ax+by=c的一个解后,y可能小于0,而通解是x=x0+b/gcd(a,b),y=y0+a/gcd(a,b);
d=gcd(a,b);最小正整数的y=(y0%(a/d)+a/d)%(a/d)
这个的理解可以举个例子:y0=-12,a/d=8,y1=y+8=-4,y2=y0+2*8=4,y2为y的最小正整数解,y2=(y0%8+8)%8=4%8=4。
代码:
1 //直接模拟TLE,要用扩展欧几里德求解同余线性方程,ヽ(≧Д≦)ノ 2 #include<stdio.h> 3 #define ll long long 4 ll x,y,m,n,l,t,p,q; 5 ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) 6 { 7 if(b==0){x=1;y=0;return a;} 8 ll r=exgcd(b,a%b,x,y); 9 ll tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y; 10 return r; 11 } 12 void modular_linear_equation(ll a,ll b,ll c) 13 { 14 ll x,y,d=exgcd(a,b,x,y); 15 if(c%d)printf("Impossible\n"); 16 else printf("%lld",((y*c/d)%(a/d)+a/d)%(a/d)); 17 } 18 int main() 19 { 20 scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l); 21 modular_linear_equation(l,n-m,x-y); 22 return 0; 23 }
┆凉┆暖┆降┆等┆幸┆我┆我┆里┆将┆ ┆可┆有┆谦┆戮┆那┆ ┆大┆始┆ ┆然┆
┆薄┆一┆临┆你┆的┆还┆没┆ ┆来┆ ┆是┆来┆逊┆没┆些┆ ┆雁┆终┆ ┆而┆
┆ ┆暖┆ ┆如┆地┆站┆有┆ ┆也┆ ┆我┆ ┆的┆有┆精┆ ┆也┆没┆ ┆你┆
┆ ┆这┆ ┆试┆方┆在┆逃┆ ┆会┆ ┆在┆ ┆清┆来┆准┆ ┆没┆有┆ ┆没┆
┆ ┆生┆ ┆探┆ ┆最┆避┆ ┆在┆ ┆这┆ ┆晨┆ ┆的┆ ┆有┆来┆ ┆有┆
┆ ┆之┆ ┆般┆ ┆不┆ ┆ ┆这┆ ┆里┆ ┆没┆ ┆杀┆ ┆来┆ ┆ ┆来┆