LCA倍增算法

一.倍增算法的前期铺垫

我们记节点v到根的深度为depth(v)。那么如果节点w是节点u和节点v的最近公共祖先的话，让u往上走(depth(u)-depth(w))步，让v往上走(depth(v)-depth(w))步，都将走到节点w。因此，我们首先让u和v中较深的一个往上走|depth(u)-depth(v)|步，再一起一步步往上走，直到走到同一个节点，就可以在O(depth(u)+depth(v))的时间内求出LCA。

由于节点的最大深度为n，所以这个方法在最坏的情况下一次查询时间复杂度就要O(n)，这显然是不够的。于是我们开始考虑优化。

二.倍增算法的实现过程

分析刚才的算法，两个节点到达同一节点后，不论怎么向上走，达到的显然还是同一节点。利用这一点，我们就能够利用二分搜索求出到达最近公共祖先的最小步数了。

首先我们要进行预处理。对于任意的节点，可以通过fa2[v]=fa[fa[v]]得到其向上走2步到达的顶点，再利用这个信息，又可以通过fa4[v]=fa2[fa2[v]]得到其向上走4步所到的顶点。以此类推，我们可以得到其向上走2^k步所到的顶点fa[v][k],预处理的时间点复杂度为O(nlogn)。

有了k=floor(logn)以内的所有信息后，就可以进行二分所搜的，每次查询的时间复杂度为O(logn)。

以poj1330为例

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
vector<int>v[10010];
int fa[10010][100];//fa[i][j]表示从i节点走2^j步可以达到的祖先节点 
int depth[10010];//记录每个节点的深度 
int n;
void dfs(int u,int pre,int dep)
{
    fa[u][0]=pre;
    depth[u]=dep;
    for(int i=0;i<v[u].size();i++)
    {
        int p=v[u][i];
        dfs(p,u,dep+1);
    }
}
void init(int root)
{
    dfs(root,-1,0);
    for(int j=0;(1<<(j+1))<=n;j++)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(fa[i][j]<0)
                fa[i][j+1]=-1;
            else
                fa[i][j+1]=fa[fa[i][j]][j];
        }
    } 
}
int LCA(int u,int v)
{
    if(depth[u]>depth[v])
        swap(u,v);
    int temp=depth[v]-depth[u];
    //cout<<temp<<endl;
    for(int i=0;(1<<i)<=temp;i++)
    {
        if((1<<i)&temp)
        {
            v=fa[v][i];
            //cout<<v<<endl;
        }
        
    }
    if(v==u)
    return u;
    for(int i=int(log(n*1.0));i>=0;i--)
    {
        if(fa[u][i]!=fa[v][i])
        {
            u=fa[u][i];
            v=fa[v][i];
        }
    }
    return fa[u][0];
}
int main()
{
    int T,k,x,y;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            v[i].clear();
        memset(fa,0,sizeof(fa));
        for(int i=1;i<=n-1;i++)
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            v[x].push_back(y);
            fa[y][0]=x;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(fa[i][0]==0)
            {
                k=i;
                break;
            }
        }
        //cout<<k<<endl;
        init(k);
        scanf("%d%d",&x,&y);
        printf("%d\n",LCA(x,y));    
    }
}