st表

 

ST表

ST表的功能很简单

它是解决RMQ问题(区间最值问题)的一种强有力的工具

它可以做到O(nlogn)预处理，O(1)查询最值

算法学习

• ST表是利用的是倍增的思想

　　　我们用 f[i][j]  表示，从 i 位置开始的 2^j 个数中的最大值(同样可以最小值，也可是别的)，例如 f[i][1] 表示的是 i 位置和 i+1 位置中两个数的最大值

           那么转移的时候我们可以把当前区间拆成两个区间并分别取最大值（注意这里的编号是从1开始的）

• 如何实现？

 

　　  

　　　首先预处理出我的log数组和d数组(位运算更快，看不懂<<和>>百度吧)

　　   log[n]表示log2(n)向下取整，即使得2^log[i]最大且不超过i 　　

　　   d[i]表示2^i（你接下来d[i]的位置总打1<<i也行吧..）

log[0]=-1;d[0]=1;
for(R int i=1;i<=n;i++)f[i][0]=ri(),log[i]=log[i>>1]+1;
for(R int i=1;i<=19;i++)d[i]=d[i-1]*2;

　　　其次可以预处理出，f[i][0]等于这个数字本身。

　　　两个for：

for(int j=1;j<=log[n];j++)
    for (int i=1;i+d[j]-1<=n;i++)
        f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+d[j-1]][j-1]);

 

          转移方程如上。

　　   什么意思？？

　　   对于每个区间（长度大于1）都可以对半分。这个区间的max从两个区间的最大值中取出。

　　　所以，我们先预处理好每个2^i,2^j次方区间的最大值，上图蓝色线表示f[i][j],可以轻松得到方程 f[i][j] = max( f[i][j-1], f[i+2^(j-1)] [j-1] );

查询

　　     

　　   假设我们查询区间(l,r)

　　　那么我们算出区间长度len=r-l+1，求出 k=log[len]，那么显然2^k<=len

　　    如图，我们求出红色线段和绿色线段最大值中的最大值即可

　　　如下代码，我直接 len=log[r-l+1],当成k看也一样

max(f[l][len],f[r-d[len]+1][len])

　　　当然，以上只是st表常用的应用之一。

　　　练习题稍后补充。

1.luoguP3865 【模板】ST表

#include <iostream>
#include<cstdio> 
#define R register
using namespace std;
const int N=100000;
int n,m;
int f[N+5][20],log[N+5],d[20];
inline int ri(){
    char c=getchar();int x=0,w=1;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
    while( isdigit(c)){x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;c=getchar();}
    return x*w;
}
int main(){
    int l,r,len;
    n=ri();m=ri();
    log[0]=-1;d[0]=1;//就这么预处理吧。log和d数组前文有交代
    for(R int i=1;i<=n;i++)f[i][0]=ri(),log[i]=log[i>>1]+1;
    for(R int i=1;i<=19;i++)d[i]=d[i-1]*2;
    for(int j=1;j<=log[n];j++)//保证不越界
        for (int i=1;i+d[j]-1<=n;i++)
            f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+d[j-1]][j-1]);//预处理
    while(m--) {//询问
        l=ri();r=ri();
        len=log[r-l+1];
        printf("%d\n",max(f[l][len],f[r-d[len]+1][len]));
    }
    return 0;
}