构造完全图

题目描述

对于完全图G ，若有且仅有一棵最小生成树T ，则称完全图 G 是树 T 扩展出的。

给你一棵树T ，找出 T 能扩展出的边权和最小的完全图 G。

输入格式

第一行正整数N  表示树 T 的点数；

接下来 N-1 行三个整数u,v,w ；描述一条边 （u,v） 权值为 w；

保证输入数据构成一棵树。

输出格式

输出仅一个数，表示最小的完全图 G 的边权和。

样例

样例输入

4
1 2 1
1 3 1
1 4 2

样例输出

12

 

数据范围与提示

对于20%  的数据，N<=10；

对于50%  的数据，m<=1000；

对于100%  的数据，N<=1E50，1<=W<=1E5。

分析：

一个图的最小生成树可能不止一个。本题图G有唯一的最小生成树T。下图T是G的唯一最小生成树：

 

 我们把最小生成树T的BD边断开，原来的最小生成树分成了两部分(T1，T2)。

T1，T2中分别有3个节点，能将T1，T2连成生成树的边有9条（BD,BE,BF；AD,AE,AF；CD,CE,CF）。

BD是最小生成树中的边的唯一原因就是，BD比其它8条都短。

反过来将，其它8条边都比BD大，为了保证原图权值和最小，那就让其它8条边只比BD长度大1。

设BD长度为w ，那这9条边的总长度为w+(3*3-1)*(w+1)。

按边长从小到大的顺序检查最小生成树上的每一条边的长度w，同时累计当时没挑中的那些边的总长度。

一开始每个点所属的子树编号就是自己的编号，当挑中一条边时：

1）这条边两个端点合并到一个子树中

2）计算没挑选的那些边的数量，累计边长和。

3）更新子树中的节点个数

 详细步骤：

{A}、{B}、{C}、{D}、{E}、{F}

1)选边AC  ,合并AC    {A,C}、{B}、{D}、{E}、{F}

　　sum+=W_AC

2)选边DE  ,合并DE    {A,C}、{B}、{D,E}、{F}

　　sum+=W_DE

 

3)选边AB  ,合并AB    {A,C,B}、{D,E}、{F}。

能合并AB两个子树的边还有BC,但是选了AB的原因是因为AB比BC小，为了保证完全图的权值和尽可能小，我们让BC之比AB大1。

　　sum+=W_AB+W_BC

　　sum+=W_AB+W_AB+1

 

 4)选边DF  ,合并DF    {A,C,B}、{D,E,F}

 能合并D，F两个子树的边还有EF,但是选了DF的原因是因为DF比EF小，为了保证完全图的权值和尽可能小，我们让EF之比DF大1。

　　sum+=W_DE+W_EF

　　sum+=W_DE+W_DE+1

  4)选边BD  ,合并BD    {A,C,B,D,E,F}

  能合并B,D两个子树的边还有(BE,BF；AD,AE,AF；CD,CE,CF)8条,但是选了BD的原因是因为它比其它8条边都小，为了保证完全图的权值和尽可能小，我们让其它8条边只比BD大1。

　　sum+=W_BD+W_BE+W_BF+W_AD+W_AE+W_AF+W_CD+W_CE+W_CF

　　sum+=W_BD+8*(W_BD+1)

 

参考代码：

 

/*

4
1 2 1
1 3 1
1 4 2

12 
*/

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read() {
    int f = 1, x = 0;
    char ch = getchar();
    while (ch > '9' || ch < '0') {
        if (ch == '-')
            f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    return f * x;
}
const int MaxN = 1e5+5;


int n;
long long  sum=0;

int fa[MaxN];
int cnt[MaxN];//cnt[i] 表示i点所在的子生成树中的节点个数 

int Find(int x) {
    if (fa[x])
        return fa[x] = Find(fa[x]);
    return x;
}

struct edge {
    int u, v;
    int w;
} edges[MaxN];//存n-1条边 

bool cmp(edge e1,edge e2) //按边长升序 
{
     return e1.w < e2.w; 
};

int main() {
    n = read();
    
    for (int i = 1; i <= n-1; i++) 
    {
        edges[i].u = read(); edges[i].v = read();  edges[i].w = read();
        sum+=edges[i].w;//求最小生成树中边权和 
        cnt[i]=1; // 
    }
    cnt[n]=1;
    
    sort(edges+1,edges+1+n-1,cmp);
    
    for (int i = 1; i <= n-1; i++) //按边长从小到大的顺序处理 
    {
        int u=edges[i].u,v=edges[i].v,w=edges[i].w;
        int fau=Find(u),fav=Find(v);
        sum+=1ll*(w+1)*(cnt[fau]*cnt[fav]-1);
        fa[fau]=fav;
        cnt[fav]=cnt[fav]+cnt[fau];    
    }
    cout<<sum<<endl;
    
    
    

    return 0;
}