组合数学知识要点
导数与积分
排列与组合
加法法则与乘法法则
基础思想：分类计数使用加法，分步计数使用乘法
Cayley定理
\(n\)个有标号顶点的树的个数为\(n^{n-2}\)
证明：定义一个消去序列，序列与树一一对应（略）。
排列与组合
\(n\)元\(r\)排列：\(\frac{n!}{(n-r)!}\)
\(n\)元\(r\)组合：组合数（naive）
\(n\)元\(r\)可重排列：\(n^r\)（naive）
\(n\)元\(r\)可重组合：\(\binom{n+r-1}{r}\)
多重集\(S=\{(a_1,k_1),(a_2,k_2),...,(a_n,k_n)\}\)
多重集的全排列：\(\frac{n!}{k_1!k_2!...k_n!}\)
多重集的\(r\)组合：\(\binom{n+r-1}{r}(\forall k\ge r)\)
隔板法、放缩法是解释组合意义的利器
组合问题与二项式系数、格路问题的联系
Wallis公式与Stirling公式
Stirling公式：\(n!\backsim \sqrt{2n\pi}(\frac n e)^n\)
貌似OI不怎么用得上？
递推关系与母函数
母函数
对一个数列\(a_0,a_1,a_2...\)构造函数
称为母函数，其长度可以是无穷大。
母函数的表示及求解
大部分无穷大的母函数可以写成若干个无穷等比数列的和
无穷等比数列求和公式：\(S=\frac{a_1}{1-q}\)（不失一般性地设\(0<q<1\)，由有穷等比数列求和\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)将\(q^n\)看作无穷小可以推导出）
求解的一般步骤
一、写出递推式（形如\(a_i=f(a_{i-1})\)，记为递推式的第\(i\)项）
二、递推式的第\(i\)项两边乘上\(x^i\)，最后所有等式左右两边分别求和，形如
三、通过移项、无穷等比数列求和、因式分解等变换，把上面的大等式大概写成这样（分子是任意一个多项式\(P(x)\)，不用在意）
四、上式可以裂项成若干等比数列的和
待定系数法，将上式通分以后，根据合并后的分子与上面的\(P(x)\)对应项的系数相等，联立方程组解出\(A_1,A_2,...\)。
母函数的应用
写出数列的母函数后，我们可以写出数列的通项公式，进而快速求出数列指定项\(a_n\)的值。
既然我们可以把大部分母函数写成等比数列和的形式，那么我们就对于每一个等比数列，算出它的\(x^n\)的系数，最后相加即可得到\(a_n\)。
优选法
就是三分求单峰函数的极值，只不过在区间的\(0.382\)和\(0.618\)等分点求值，这样有一个值在下一次的时候还能用上。
利用Fibonacci数列后一项比上前一项接近\(0.618\)的性质，可以使优选法取到整点。
线性常系数齐次递推关系
对于数列\(\{a_n\}\)有递推式
\(a_n+c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+...+c_ka_{n-k}=0(a_0=d_0,a_1=d_1,...a_{k-1}=d_{k-1})\)
若\(\forall c,d\)都是常数，则称上式为\(k\)阶线性常系数齐次递推关系
\(C(x)=x^k+c_1x^{k-1}+c_2x^{k-2}+...+c_{k-1}x+c_k\)称为特征多项式。
求解
经过复杂的变换，数列的母函数一定可以写成
其中\(P(x)\)为一个极其复杂的最高次项不超过\(k-1\)的多项式。
分母显然等价于\(x^kC(\frac 1 x)\)，于是考虑解方程
\(α_1,α_2,...α_t\)为\(C(x)\)在复数域内的\(t\)个根，称为特征根。显然可能有重根，\(k_i\)即为\(α_i\)的重复次数，于是有\(\sum\limits_{i=1}^t k_i=k\)
于是将\(k\)个\(x\)乘进分母中得出
开始求\(x^n\)系数\(a_n\)，三种情况只好死记硬背
单根
设有若干单根\(α_1,α_2,...α_k\)
直接待定系数\(A_1α_1^n+A_2α_2^n+...+A_kα_k^n\)
复根
如果出现复根，肯定是一对一对的共轭复根\(ρ(\cosθ\pm i\sinθ)\)
待定系数\(Aρ^n\cos nθ+Bρ^n\sin nθ\)
多重根
有一个\(k\)重根\(α\)
待定系数\((A_0+A_1n+A_2n^2+...+A_{k-1}n^{k-1})α^n\)
貌似也适用于单根\((k=1)\)
三种情况的待定系数式相加即为\(a_n\)的表达式
将初始值\(a_0=d_0,a_1=d_1,...a_{k-1}=d_{k-1}\)带入\(a_n\)的表达式中，得到一个\(k\)元方程组，求解即可。
系数都求出来了，\(a_n\)当然求出来啦！
整数的拆分
运用母函数解释
设有\(n\)个数的多重集\(\{(d_1,k_1),(d_2,k_2),...(d_n,k_n)\}\)，每个数可以任意选，那么可以构造一母函数
展开可得
其中\(x^i\)项系数\(a_i\)为将\(i\)拆成若干数的和的方案数。
上面讨论的是可以任意选的情况。根据题目对选择数的限制，可以对母函数进行修改，\(x^{Ad_i}\)不存在即表示数\(d_i\)不能选\(A\)个。
Ferrers图像
懒得解释图像，百度百科
利用图像可以得到的重要性质：整数\(n\)拆分成最多不超过\(m\)个数的和的拆分数，和\(n\)拆分成最大不超过\(m\)的拆分数相等。
指数型母函数
对一个数列\(a_0,a_1,a_2...\)构造函数
称为指数型母函数。
这个名字是怎么来的呢？
求\(e^x\)的麦克劳林级数\(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...\)，跟指数型母函数的定义式很像
反过来说，序列\(\{1,1,1,...\}\)的指数型母函数显然为\(e^x\)。
如果需要进行组合意义的计数，常使用指数型母函数。
常用变换
第一类Stirling数
定义为\(n\)个有区别的球划分成\(m\)个环的方案数。用\(s(n,m)\)表示。
第二类Stirling数
定义为\(n\)个有区别的球放进\(m\)个相同的盒子中，盒子不允许为空。另一种通俗的称呼是集合划分数。用\(S(n,m)\)表示。
Catalan数
定义为通过\(n-2\)条对角线把一个凸\(n\)边形分割的方案数。
容斥原理与鸽巢原理
德摩根定理
符号约定：记\(\overline A\)为\(A\)的补集，\(|A|\)为\(A\)的元素个数。
\(\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B,\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B\)(naive)
容斥原理
先来直观的
\(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\)
\(|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|\)
推广到求\(|A_1\cup A_2\cup ...\cup A_n|\)即\(|\bigcup\limits_{i=1}^nA_i|\)
设一个集合的集合\(S=\{A_1,A_2,...,A_n\}\)
那么枚举\(S\)的子集求并，如果这个子集大小为奇，那么容斥系数为\(1\)，否则为\(-1\)，总的式子长这样
类似地，还可以反过来求\(|\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap ...\cap\overline{ A_n}|\)即\(|\bigcap\limits_{i=1}^n\overline{A_i}|\)
莫比乌斯反演
定义一个容斥系数\(\mu(d)\)
若\(f(n),g(n)\)是定义在正整数上的个函数，满足
则
鸽巢原理/抽屉原理
\(n\)个抽屉里有\(n+1\)个苹果，则至少有一个抽屉里有两个苹果（naive）
群论
跳过群的基本概念吧，反正计数又用不着。
置换群
所有的有限群都可以用置换群表示。
置换的定义：一个\(n\)元置换是一个排列二元组，一般写成
表示把序列中的\(i\)号元素替换为\(a_i\)号元素。
第一行不一定要写成\(1-n\)，将列任意交换得到的仍是原来的置换。
Burnside引理
\(L=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{p\in G}不动点个数(p)\)
Pólya定理
定义\(k\)阶循环为一个序列\((b_1,b_2,...b_k)\)，满足在置换中\(a_{b_1}=b_2,a_{b_2}=b_3,...a_{b_k}=a_1\)
于是一个置换可以写成若干个循环的组合，比如
可以写成两个循环\((1,2,4)(3,5)\)的形式。
如果\((b_1,b_2,...b_{k-1},b_k)\)与\((b_2,b_3,...b_k,b_1)\)视为等价的话，那么可以说每一个置换都有唯一的一个循环表示。
记\(c_p\)为置换\(p\)循环表示下循环的总数。在置换群\(G\)的意义下用\(m\)种颜色染物品，其方案数为\(\frac{1}{|G|}\sum\limits_{p\in G}m^{c_p}\)。
