洛谷P3628 [APIO2010]特别行动队（动态规划，斜率优化，单调队列）

洛谷题目传送门

安利蒟蒻斜率优化总结

由于人是每次都是连续一段一段地选，所以考虑直接对$x$记前缀和，设现在的$x_i=$原来的$\sum\limits_{j=1}^ix_i$。

设$f_i$为安排前$i$个人的最大值$(f_0=0)$

$f_i=\max\limits_{j=0}^{i-1}\{f_j+a(x_i-x_j)^2+b(x_i-x_j)+c\}$
$\quad=\max\limits_{j=0}^{i-1}\{f_j-2ax_ix_j+ax_j^2-bx_j\}+ax_i^2+bx_i+c$

决策$j$比$k$优当且仅当

$$f_j-2ax_ix_j+ax_j^2-bx_j\ge f_k-2ax_ix_k+ax_k^2-bx_k$$

$$\frac{f_j+ax_j^2-bx_j-(f_k+ax_k^2-bx_k)}{x_j-x_k}\ge 2ax_i$$

于是每个决策可以看成是一个点$(x_i,y_i)(y_i=f_i+ax_i^2-bx_i)$

不用考虑变号。因为$a<0$，$x_i$递增，斜率$2ax_i$递减，所以我们用单调队列维护一个下凸包就行了。依旧是维护队首为当前最优解。

当然注意这里的转移是从$0$到$i-1$，所以和土地征用有点点不一样，要先求出$f_i$再加入决策点$i$。

纯天然代码

#include<cstdio>
#define RG register
#define R RG int
#define G c=getchar()
#define Calc(j,k) (y[j]-y[k])/(x[j]-x[k])//求斜率
const int N=1e6+9;
int q[N];
double f[N],k[N],x[N],y[N];//变量名同上
inline int in(){
	RG char G;RG bool f=0;
	while(c<'-')G;
	if(c=='-')f=1,G;
	R x=c&15;G;
	while(c>'-')x=x*10+(c&15),G;
	return f?-x:x;
}
int main(){
	R n=in(),i,h,t;
	RG double a=in(),b=in(),c=in(),now;
	for(i=h=t=1;i<=n;++i){
		x[i]=x[i-1]+in();//前缀和
		now=2*a*x[i];//当前斜率
		while(h<t&&k[h]>=now)++h;
		f[i]=-now*x[q[h]]+y[q[h]]+(a*x[i]+b)*x[i]+c;//先求fi,根据定义式求
		y[i]=f[i]+(a*x[i]-b)*x[i];//yi跟着求
		while(h<t&&k[t-1]<=Calc(q[t],i))--t;//维护凸包
		k[t]=Calc(q[t],i);q[++t]=i;
	}
	printf("%.0lf\n",f[n]);
	return 0;
}