洛谷P1516 青蛙的约会(扩展欧几里德)
很容易想到,如果他们相遇,他们初始的位置坐标之差x−y和跳的距离(n−m)t(设t为跳的次数)之差应该是模纬线长l同余的,即(n−m)t≡x−y(mod
转化一下,不就变成了让我们求一个不定方程(n-m)t+kl=x-y(k\in \mathbb Z)中t的最小非负整数解么?
设a=n-m,b=l,c=x-y,把它转化成我们比较熟悉的一般不定方程的形式ax+by=c(此式的x,y与题目给的坐标意义不同)
首先,设g=\gcd(a,b)我们可以通过扩欧求出ax_0+by_0=g中x_0的一个解
这时,因为\frac{ax+by}g为整数,所以\frac c g也必须是整数,否则无解
否则,等式两边同乘\frac cg,得a\frac{cx_0}g+b\frac{cy_0}{g}=c
那么,x=\frac{cx_0}g就是ax+by=c中x的一个解
如何由一个解得到其它解呢?有一个恒等式a(x+db)+b(y-da)=c
在保证db,da都是整数的情况下,我们让d最小,就可以得到所有的整数解,那么d=\frac 1g
如果解出的x>0,那么最小非负整数解等于x\bmod\frac b g;否则等于x\bmod\frac b g+\frac b g
代码就可以直接写(x%(b/g)+b/g)%(b/g)
然后就可以交上去了,发现获得了70分
怎么回事?因为\gcd只对非负整数有意义,所以如果a<0等式两边要同时取负,a,c都要变成相反数;b本来就是正数,不用变也不能变。
总之,虽然是裸的exgcd题,但是很容易被细节实现坑到,尤其是求最小非负整数解和处理a为负数的地方。
#include<cstdio>
#define LL long long
LL x,y,m,n,l,a,b,c,x0,y0,g,tmp;
void exgcd(LL a,LL b){
if(!b){x0=1;g=a;return;}//顺便求gcd
exgcd(b,a%b);
tmp=x0;x0=y0;y0=tmp-a/b*y0;
}
int main(){
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
a=n-m;b=l;c=x-y;
if(a<0)a=-a,c=-c;//处理a为负数情况
exgcd(a,b);
if(c%g)puts("Impossible");
else printf("%lld\n",(c/g*x0%(b/g)+b/g)%(b/g));//求最小非负整数解
return 0;
}
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