由素数筛法到欧拉函数(欧拉函数,线性筛)

前言

蒟蒻最近准备狂补数学啦TAT

基于筛素数,可以同时快速求出欧拉函数。于是蒟蒻准备从这里入手,整理一下实现的思路。

筛素数及其一种改进写法

传统筛素数的做法(埃式筛)是,利用已知的素数,去筛掉含有此质因子的合数,十分巧妙。由于不是本文的重点,就只贴一下代码吧

#include<cstdio>
#include<cmath>
#define R register int
const int N=100000000,SQ=sqrt(N);
bool f[N];
int main(){
	R i,j;
	for(i=2;i<=SQ;++i){
		if(f[i])continue;
		for(j=i<<1;j<N;j+=i)f[j]=1;
	}
	/*for(i=2;i<N;++i)
		if(!f[i])printf("%d\n",i);*/
	return 0;
}

复杂度不会证,不过较近似于线性(大概是O(nloglogn)的样子)。

实际上蒟蒻打了个表,N与筛的次数大概有这样的关系

为什么是近似的呢?因为每个合数会被其多个质因子都筛一遍,所以并不是严格的。

于是我们要想办法让每个合数只被筛掉一次。如何实现呢?我们可以让每个合数都只被其最小质因子筛掉(欧拉筛)。

与上面相比,这种新的更加优秀的写法有了较大的变化。代码如下,可结合注释理解,也不多讨论。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#define R register int
const int N=100000000,B=N>>1;
bool f[N];
int pr[B];
int main(){
	R i,j,p=0;
	for(i=2;i<=B;++i){
		if(f[i])
			for(j=1;j<=p&&i*pr[j]<N;++j){
				f[i*pr[j]]=1;
				if(!(i%pr[j]))break;//这一句话就是使得每个合数只被最小质因子筛掉的关键
//简要解释一下,如果pr[j]|i,那么i就有一个质因子pr[j]
//那么{i*pr[j+k],k∈N*}的最小质因子就是pr[j]而不是pr[j+k]了
			}
		else{
			pr[++p]=i;
			for(j=1;j<=p&&i*pr[j]<N;++j)
				f[i*pr[j]]=1;//i是质数,所以可以省掉上面那个判断,减小常数
		}
	}
	/*for(i=2;i<N;++i)
		if(!f[i])printf("%d\n",i);*/
	return 0;
}

实际运行N=108比上面那种写法快一半。

欧拉函数

定义及性质

对一个正整数x定义欧拉函数ϕ(x),为[1,x]中与x互质的整数个数。

几个基本内容(下面定义p为质数):

  1. ϕ(1)=1,这个没啥好说的,因为本来就定义11互质
  2. ϕ(p)=p1,也是很显然的,由质数定义得出
  3. 如果p|x,那么ϕ(xp)=ϕ(x)p,否则ϕ(xp)=ϕ(x)p1)。证明的话百度一下吧,蒟蒻不会qwq

这样的话,是不是可以像埃式筛一样,通过某个质数筛去质因子含这个数的合数的同时,计算出这个合数的欧拉函数值呢?好像是不行的,因为可能两个数的商的欧拉函数值还没求出来。

这时候,更好的欧拉筛又派上了用场。枚举x再枚举质数p,这时候ϕ(x)ϕ(p)肯定都求出来啦,那么ϕ(xp)当然也就求出来啦。

#include<cstdio>
#define R register
const int N=1000001;
int pr[N],phi[N];
bool f[N];
int main(){
	R int n,i,j,k,p=0;
	phi[1]=1;//内容1
	for(i=2;i<N;++i){
		if(!f[i])phi[pr[++p]=i]=i-1;//内容2
		for(j=1;j<=p&&(k=i*pr[j])<N;++j){
			f[k]=1;
			if(i%pr[j])//内容3
				phi[k]=phi[i]*(pr[j]-1);
			else{
				phi[k]=phi[i]*pr[j];
				break;
			}
		}
	}
	return 0;
}

题目

一道模板题及其Sol

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