TSP的一个确定性多项式时间近似算法（环覆盖，图匹配，最小生成树，概率统计分析）

问题描述

给定一个图，求出一个不重复遍历所有点的环路，使环路的边权之和最小

TSP（旅行商问题）是一个著名的NP-Hard问题，无法在任意情况下使用多项式时间算法精确求解

根据给定图的性质，我们可以对问题做一些细分类

• 图是有向图还是无向图

• 图是否为完全图（实际上，非完全图可以通过将不存在边的边权视为INF，转化为完全图）

• 图的边权是否满足度量性质（metric）
  或称是否满足三角不等式，$\forall x, d(u,v)\le d(u,x)+d(x,v)$
  TSP在实际应用背景下，许多情况都满足此性质
  比如点在几何空间中，所有边权为两点距离
  又比如点在地图上，所有边权为两点之间最短路（尽管路径上可能有别的点）

  • 研究指出，对于metric情况，存在常数级多项式时间近似算法（即该算法所求结果与最优解比值小于某个常数）
    比如求出图的最小生成树，将其的一个dfs序作为环，可以证明得到近似比小于$2$的解
    比如Christofides算法的近似比为$\frac32$
  • 研究也指出，对于non-metric情况，不存在普遍的常数级多项式时间近似算法

算法概述

通过求解图的最小环覆盖，再将所有环以一定的方式合并成一个环，即得到一个解

最小环覆盖（vertex cycle cover）

https://en.wikipedia.org/wiki/Vertex_cycle_cover

在给定图中，选出任意个环路，使它们互不相交且正好覆盖所有点，最小化边权总和

显然对于同一个图，最小环覆盖的答案一定不大于TSP问题的答案，因为TSP所求的一个环路也是合法的环覆盖

那么最终的近似程度就很大程度取决于合并所有环带来的代价

至于如何求解，我们对有向图和无向图分别讨论

有向图

每个点都恰好有一条出边和一条入边，这是构成不相交环的充要条件

于是问题转化为二分图最小权完美匹配问题

二分图两边各$n$个点，对于原图中的每条边$(u,v,w)$，在二分图中把左边的$u$和右边的$v$连起来

使用KM算法，复杂度$O(n^3)$

无向图

不好套用有向图的做法，因为允许了$u\to v\to u$这样的二元环存在

主要后果并不是违反了无向图环的定义，而是大大提高了合并环的代价

试想一个图中的那些权值特别小的边，很倾向于形成二元环，那么最终最小环覆盖环的个数就会爆炸

怎么办呢？来点概念

reference: https://cstheory.stackexchange.com/questions/46819/algorithm-for-finding-a-3-cycle-cover

https://mathoverflow.net/questions/277498/tuttes-reduction-of-minimum-weight-d-factors-to-matching

• d-regular, spanning subgraphs (d-factors)
  正则生成子图，指的是某图的一个包含原图所有点的子图，满足每个点的度数均为$d$
  比如完美匹配等价于1-factor，环覆盖等价于2-factor

• Tutte's Reduction
  由Tutte提出，将d-factor求解转化为图匹配求解
  对于原图每个点$u$，新建点$u_1,...,u_d$
  对于原图每条边$e:(u,v,w)$，新建点$e_u,e_v$，新建边$(e_u,e_v,w)$
  并且$\forall i\in[1,d]$，新建边$(u_i,e_u,0),(v_i,e_v,0)$
  求出该图的最大权完美匹配
  对于新图的$(e_u,e_v,w)$型边，它在匹配边中当且仅当对应原图边$e$未被选入最小环覆盖
  对于新图的$(u_i,e_u,0)$型边，它在匹配边中当且仅当对应原图边$e$被选入最小环覆盖

为什么这样是对的呢？显然新图存在完美匹配，那么既然新图的$u_i,e_u$已经匹配，$e_v$就肯定会和$v_j$匹配，不会自相矛盾

那么最大化匹配边的权值和，就是最小化d-factor的权值和

例如对于三个点的最小环覆盖，建新图

显然完美匹配中$(e_u,e_v,w)$型边一个都不能选，原图也只有唯一环覆盖

可是这是个一般图呀，最大权完美匹配怎么做？

OI中相对普及的是二分图最大权完美匹配的KM算法、一般图最大匹配的带花树算法

一般图最大权完美匹配算法（Maximum Weight Perfect Matching）由Edmonds提出，实际上就是上述两种思想的结合

但其理解和实现的难度就不是两个算法的简单相加了TAT

需要学习的大佬可以参考洛谷P6699 【模板】一般图最大权匹配，UOJ#81. 一般图最大权匹配

注意最大权匹配和最大权完美匹配是不一样的

目前普遍的$O(n^3)$实现方法，代码量基本都是7k左右

广为流传的Min_25大佬的$O(nm\log n)$实现，代码量已经到了20多k！！！

还好可以从现成的算法库里调用，比如Python的networkx，C++的LEMON图论库

对于最小环覆盖，两种实现的复杂度分别为$O(m^3),O(m^2\log n)$（$n,m$为原图点数，边数）

环的合并

每次挑两个环出来，枚举断开的位置和接的方向，合成一个环

至于挑环的顺序，又可以搞好多方法出来

大环优先法

蒟蒻的想法，每次把次大的环往最大的环上合

这样做是为了让最小的环能在其合并时枚举到尽可能多连接的方式（小环长度×大环长度×2）

假如两个小环合并，连接方式很少，最优方式的代价期望就会提大大高

类MST kruscal法

也是蒟蒻的想法，每次选择所有环对中的一个最优方式进行合并

我们把环看成一个超级点，把合并看成两个超级点连边，就类比到了MST上

这是靠几何直觉大致表明这种方法在metric情况下makes sense

而且这样做也大概率比大环优先法优秀，这个贪心只是忽略了先合并的环有两条边被删掉的轻微后效性

逐次缩环法

论文算法（Cycle Shrinking Algorithm），但是需要允许构造经过某些点多次的路径，适合贴近现实的metric情况

每次求出最小环覆盖后，若环数为1，停止

否则从每个环中选择一个代表点，构造新图，新图中两点之间边权为原图中两点最短路

再求新图的最小环覆盖，如此循环

因为每次建新图，点数比原来至少少一半，所以最多执行$O(\log n)$次最小环覆盖

又因为每次最小环覆盖长度不超过TSP的答案，所以该算法被证明有$O(\log n)$的近似比

部分情况下该算法的近似程度分析以及改进探讨

有向完全图，所有边权随机

这里每一条边都是i.i.d.的连续型随机变量

运行算法，我们得到一个匹配，可以视为一个全错位的置换$\pi$，左边点$u$匹配到右边点$\pi(u)$

我们关心环的个数的期望，也就是$\pi$中循环的个数的期望

有一个结论：得到所有合法置换的概率是相等的，因为所有边是i.i.d.的，得到任意两个置换的概率都可以通过点、边的映射相互转化，用对称性证明它们相等

因此我们直接求等概率随机一个长度为$n$全错位排列的循环个数期望$L_n$

• A008306：$T(n,k)$为$n$元素划分成$k$个长度至少为$2$的圆排列的方案数，又称连带第一类Stirling数
• A000166：$D_n$为全错位排列数
• A162973：$\sum_{k=1}^{n/2}kT(n,k)$

$$P(L_n=k)=\frac{T(n,k)}{D_n}$$

$$E(L_n)=\frac{\sum_{k=1}^{n/2}kT(n,k)}{D_n}\sim \ln n+\gamma-1$$

它是$\log n$级别的！也就是说，合并环所带来的长度增加是非常有限的，近似解和最优解的绝对误差大概率在一个合理的范围内

无向完全图，所有边权随机

A038205：$n$元素划分成个长度至少为$3$的圆排列的方案数

然并卵，不能像有向图中那样用对称性了，只能说明同构的环覆盖概率相等，于是蒟蒻不会算期望了/kk

不过既然环长至少为$3$了，那么环数期望肯定不超过有向图的情况$O(\log n)$

通过重复随机采样，能说明

• 得到更大环长、更少环数的环覆盖的概率更高
• 环数期望似乎与概率分布也有关？

算法变种

我们另一个关心的是$O(m^2\log n)$的复杂度，在跑上百个点的完全图的时候就开始吃力了

不过既然不是确定出正解的算法了，想怎么乱来都行，能降一点复杂度，快点跑出来就好

通过观察，我们发现，实际上在点很多、图很密集的情况下，那些边权稍微大一点的边都基本上用不上了

假如我们知道最大的能被用上的边的边权$W$，我们只留下边权不超过$W$的边（条数为$c$）建新图跑MWPM，新图的点数和边数就会减少到$O(n+c)$

比如，$n=100,d(u,v)\sim\operatorname{Unif(0,1)}$时，把大于$0.1$的边都删掉，能变快将近一百倍

• 蒟蒻找到了论文中的一个定理，给了这个胡搞一定的理论依据

  假设常数$K>16,p\ge\frac{K\log n}{n}$，那么在$n$个点的完全图中让每条边以概率$p$出现，$1-p$不出现，
  这个图存在Hamilton回路是高概率事件（$n\to\infty,P(·)\to1$)

  那也就是说，我们需要在原图留下$\Omega(n\log n)$的边来保障我们高概率找到一个环覆盖
  基于这个依据还需要一个猜测，那就是加入边权更大的边对最小环覆盖的改善很微小
  假设这些都是对的，那令$c=O(n\log n)$，我们用$O((n+c)^2\log n)=O(n^2\log^3 n)$的时间能高概率找到一个很小的环覆盖

关键是不知道$W$是多少

一种方法是自己生成几组数据多试试，再把$W$定下来

另一种方法是交给算法把它试出来，采用倍增试探法

1. 令$c=n$
2. 留下前$c$小的边，建新图跑一般图完美匹配（甚至能上随机算法，跑得快并且大概率对就行）
3. 如果成功找到完美匹配，令$W=$第$c$小边的边权，结束；否则$c=2c$，转步骤2.

无向图，metric，二维平面点

这里仅与Christofides算法作对比

通过重复随机采样（在矩形区域中随机选择整数点），该算法有80%的概率优于Christofides算法

以下的两个例子，能够很好的说明问题

例子一

Christofides更优秀，该算法形成的解被已形成的几个小环大大限制住了，陷入了局部最优

目测来看，可以基于对解进行点交换、部分环交换等局部调整的方法，应用贪心或者模拟退火的算法，将当前情况大大改善

另一方面，找到更可靠的环合并算法也是非常有希望的研究方向

例子二

该算法更优秀，Christofides的解出现了许多交叉的地方

这是因为最小环覆盖在二维平面下的性质：不存在两个环相交

比如这种情况，显然把两个交叉的地方打开，重新分配环$(a_1,b_2,b_3,a_4),(b_1,a_2,a_3,b_4)$一定更优

然而合并环后仍有极小概率出现交叉，问题还是陷入局部最优，比如下面，左边是该算法，右边是真正最优解

解决最终解交叉的方法，就是直接枚举检查每两条边是否相交，相交了就打开，一定有一种调整方式使得调整后仍然是Hamilton回路

这样一来Christofides的解也能大大改善，也就不能说该算法大概率比Christofides好了

Python实现一例

无向完全图，边权为$\text{Beta}(0.5,0.5)$分布，输入文件格式为邻接矩阵

这个是大环优先法的实现

import networkx as nx

# 读入数据处理
with open("input.txt","r") as f:
    finput = f.readlines()

d = [[0] + list(map(int, fline.split())) for fline in finput]
n = d[0][1]
W = 0.1 # 上面算法改进提到的边权限制

# MWPM建图
G = nx.Graph()
G.add_nodes_from(range(-n, 0))
G.add_nodes_from(range(1, n+1))
for u in range(1, n+1):
    for v in range(u+1, n+1):
        if d[u][v] > W: continue
        G.add_node((u,v))
        G.add_node((v,u))
        G.add_edge((u,v), (v,u), weight=d[u][v])
        G.add_edge( u, (u,v), weight=0)
        G.add_edge(-u, (u,v), weight=0)
        G.add_edge( v, (v,u), weight=0)
        G.add_edge(-v, (v,u), weight=0)
match = nx.algorithms.max_weight_matching(G, maxcardinality=True)

# 将匹配结果处理为环覆盖形式
w = 0
w_max = 0
w_ignore = 0
H = nx.Graph()
for e in match:
    if type(e[0])==int:
        u, v = e[1]
    elif type(e[1])==int:
        u, v = e[0]
    else:
        w_ignore += d[e[0][0]][e[0][1]]
        continue
    if u < v:
        w += d[u][v]
        w_max = max(w_max, d[u][v])
        H.add_edge(u,v)
cycle = nx.algorithms.cycle_basis(H)
print("w=", w, "c=", len(cycle), cycle)
print("w_max=", w_max)

# 合并环
while len(cycle) > 1:
    merge = None
    mdelta = float("inf")
    for id1,c1 in enumerate(cycle):
        for id2,c2 in enumerate(cycle):
            if id1 >= id2:
                continue
            for i in range(len(c1)):
                for j in range(len(c2)):
                    u, v = c1[i], c1[(i+1) % len(c1)];
                    x, y = c2[j], c2[(j+1) % len(c2)];
                    delta = d[u][x] + d[v][y] - d[u][v] - d[x][y]
                    if mdelta > delta:
                        mdelta = delta
                        merge = (id1, id2, c1[:i+1]+c2[j::-1]+c2[:j:-1]+c1[i+1:])
                    delta = d[u][y] + d[v][x] - d[u][v] - d[y][x]
                    if mdelta > delta:
                        mdelta = delta
                        merge = (id1, id2, c1[:i+1]+c2[j+1:]+c2[:j+1]+c1[i+1:])
    cycle.pop(merge[1])
    cycle.pop(merge[0])
    cycle.append(merge[2])

# 输出答案
ans = cycle[0]
if n != len(ans):
    raise Exception("not connected!")
w = 0
for i in range(len(ans)):
    w += d[ans[i]][ans[(i+1) % len(ans)]]
print("w=", w, ans)

总结

该算法非常适合non-metric，边权独立随机，图点数中等的情况

该算法在metric情况下适用性不高，因为解的近似性不如Christofides稳定，时间复杂度高（Christofides为$O(n^3)$）

这也是在意料之中的，因为metric情况下，形成局部小环的概率提高，环数期望增加，也没有完全利用三角不等式的性质