剑指 offer 第一题： 二维数组中的查找
打算写 图解剑指 offer 66 题 的系列文章，不知道大家有没有兴趣 😶
题目描述
在一个二维数组中（每个一维数组的长度相同），每一行都按照从左到右递增的顺序排序，每一列都按照从上到下递增的顺序排序。请完成一个函数，输入这样的一个二维数组和一个整数，判断数组中是否含有该整数。
题目分析
图 1
如果没有头绪的话，很显然使用 暴力解法 是完全可以解决该问题的。
即遍历二维数组中的每一个元素，时间复杂度：O(n^2)。
其实到这里我们就可以发现，使用这种暴力解法并没有充分利用题目给出的信息。这个二维数组是有特点的。
- 每一行都是递增的
- 每一列都是递增的
图 2
解法
解法一：二分法
对于有序数组的查找问题而言，二分法是最容易想到的一个解法。
在这里，对每一行使用二分查找，时间复杂度为 O(nlogn) 。二分查找复杂度 O(logn)，一共 n 行，所以是总体的时间复杂度是 O(nlogn) 。
解法二：规律法
根据二维数组由上到下，由左到右递增的规律。
从左下角开始遍历，如果当前值比 target 小则往右找，如果比 target 大则往上找，如果存在，必然可以找到目标数字。
即选取右上角或者左下角的元素 a[row] [col] 与 target 进行比较， 当 target 小于元素 a[row] [col] 时，那么 target 必定在元素 a 所在行的左边,让 col-- ；当 target 大于元素 a[row] [col] 时，那么 target 必定在元素 a 所在列的下边,让 row++ ；
图 3
代码如下：
public class Solution {
public boolean Find(int target, int [][] array) {
int row = 0;
int col = array[0].length - 1;
while(row <= array.length - 1 && col >= 0){
if(target == array[row][col])
return true;
else if(target > array[row][col])
row++ ;
else
col-- ;
}
return false;
}
}
解法三：二分规律法
将解法一和解法二进行结合：对每行每列都使用二分查找，此时的时间复杂度为 O(logn * logm)。
图 4
比如查找数字 9，首先使用用二分查找选出一行，总共有 5 行，那么( 0 + 5 ) / 2 = 2，所以我们找出了第 2 行为基准行。
图 5
接下来对这一行（即第 2 行）又使用二分查找， 找出这一行（即第 2 行）中最后一个比目标值小的值，这里是 6。
图 6
6 及其所在的行和列把这个矩形划分为 4 部分：
图 7
- 左上部分（图 7 灰色部分），包括所在行的左边部分和所在列的上边部分：这一部分是绝对不会有目标数字的。因为这部分数字肯定比 6 小，而 6 又是小于目标数字的，所以左上部分全部小于目标数字。也就是说这个区域的数字不需要再进行判断了。
- 右下部分（图 7 绿色部分），包括所在行的右边部分，但不包括所在列的下面部分， 这一部分也是绝对不会有目标数字的。因为这部分都比 6 右边的数字 11 大，而 11 又比目标数字 9 更大，所以右下部分全部都比目标数字大。也就是说这个区域的数字也不需要再进行判断了。
- 左下部分（图 7 蓝色部分），可能含有目标数字。
- 右上部分（图 7 棕色部分），可能含有目标数字。
这样，实际上筛选的区域就只剩下左下部分（图 7 蓝色部分） 和 右上部分（图 7 棕色部分）这两块区域了，相比于解法二而言，使用这种解法平均情况下每一次查找，都可以把行和列的长度减少一半。
代码如下：
public class Solution {
public boolean Find(int target, int [][] array) {
// 特殊情况处理
if (array == null || array.length == 0 || array[0].length == 0) {
return false;
}
int h = array.length - 1;
int w = array[0].length - 1;
// 如果目标值小于最小值 或者 目标值大于最大值，那肯定不存在
if (array[0][0] > target || array[h][w] < target) {
return false;
}
return binarySearchIn2DArray(array, target, 0, h, 0, w);
}
public static boolean binarySearchIn2DArray(int[][] array, int target, int startX, int endX, int startY, int endY) {
if (startX > endX || startY > endY) {
return false;
}
//首先，根据二分法找出中间行
int x = (startX + endX) / 2;
//对该行进行二分查找
int result = binarySearch(array[x], target, startY, endY);
//找到的值位于 x 行，result 列
if (array[x][result] == target) {
return true; // 如果找到则成功
}
//对剩余的两部分分别进行递归查找
return binarySearchIn2DArray(array, target, startX, x - 1, result + 1, endY)
|| binarySearchIn2DArray(array, target, x + 1, endX, startY, result);
}
public static int binarySearch(int[] array, int target, int start, int end) {
int i = (start + end) / 2;
if (array[i] == target || start > end) {
return i;
} else if (array[i] > target) {
return binarySearch(array, target, start, i - 1);
} else {
return binarySearch(array, target, i + 1, end);
}
}
}
感兴趣的话可以看看我之前写的一个项目 LeetCodeAnimation,目前有 13000 star。
原文首发于公号「五分钟学算法」链接：剑指 offer 第一题： 二维数组中的查找
