看动画轻松理解时间复杂度（一）
算法（Algorithm）是指用来操作数据、解决程序问题的一组方法。对于同一个问题，使用不同的算法，也许最终得到的结果是一样的，比如排序就有前面的十大经典排序和几种奇葩排序，虽然结果相同，但在过程中消耗的资源和时间却会有很大的区别，比如快速排序与猴子排序：）。
那么我们应该如何去衡量不同算法之间的优劣呢？
主要还是从算法所占用的「时间」和「空间」两个维度去考量。
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时间维度：是指执行当前算法所消耗的时间，我们通常用「时间复杂度」来描述。
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空间维度：是指执行当前算法需要占用多少内存空间，我们通常用「空间复杂度」来描述。
本小节将从「时间」的维度进行分析。
什么是大O
当看「时间」二字，我们肯定可以想到将该算法程序运行一篇，通过运行的时间很容易就知道复杂度了。
这种方式可以吗？当然可以，不过它也有很多弊端。
比如程序员小吴的老式电脑处理10w数据使用冒泡排序要几秒，但读者的iMac Pro 可能只需要0.1s，这样的结果误差就很大了。更何况，有的算法运行时间要很久，根本没办法没时间去完整的运行，还是比如猴子排序：）。
那有什么方法可以严谨的进行算法的时间复杂度分析呢？
有的!
「 远古 」的程序员大佬们提出了通用的方法：「 大O符号表示法 」，即 T(n) = O(f(n))。
其中 n 表示数据规模 ，O(f(n))表示运行算法所需要执行的指令数，和f(n)成正比。
上面公式中用到的 Landau符号是由德国数论学家保罗·巴赫曼（Paul Bachmann）在其1892年的著作《解析数论》首先引入，由另一位德国数论学家艾德蒙·朗道（Edmund Landau）推广。Landau符号的作用在于用简单的函数来描述复杂函数行为，给出一个上或下（确）界。在计算算法复杂度时一般只用到大O符号，Landau符号体系中的小o符号、Θ符号等等比较不常用。这里的O，最初是用大写希腊字母，但现在都用大写英语字母O；小o符号也是用小写英语字母o，Θ符号则维持大写希腊字母Θ。
注：本文用到的算法中的界限指的是最低的上界。
常见的时间复杂度量级
我们先从常见的时间复杂度量级进行大O的理解：
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常数阶O(1)
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线性阶O(n)
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平方阶O(n²)
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对数阶O(logn)
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线性对数阶O(nlogn)
O(1)
无论代码执行了多少行，其他区域不会影响到操作，这个代码的时间复杂度都是O(1)
1void swapTwoInts(int &a, int &b){
2 int temp = a;
3 a = b;
4 b = temp;
5}
O(n)
在下面这段代码，for循环里面的代码会执行 n 遍，因此它消耗的时间是随着 n 的变化而变化的，因此可以用O(n)来表示它的时间复杂度。
1int sum ( int n ){
2 int ret = 0;
3 for ( int i = 0 ; i <= n ; i ++){
4 ret += i;
5 }
6 return ret;
7}
特别一提的是 c * O(n) 中的 c 可能小于 1 ，比如下面这段代码：
1void reverse ( string &s ) {
2 int n = s.size();
3 for (int i = 0 ; i < n/2 ; i++){
4 swap ( s[i] , s[n-1-i]);
5 }
6}
O(n²)
当存在双重循环的时候，即把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²) 了。
1void selectionSort(int arr[],int n){
2 for(int i = 0; i < n ; i++){
3 int minIndex = i;
4 for (int j = i + 1; j < n ; j++ )
5 if (arr[j] < arr[minIndex])
6 minIndex = j;
7
8 swap ( arr[i], arr[minIndex]);
9 }
10}
这里简单的推导一下
- 当 i = 0 时，第二重循环需要运行 (n - 1) 次
- 当 i = 1 时，第二重循环需要运行 (n - 2) 次
- 。。。。。。
不难得到公式：
1(n - 1) + (n - 2) + (n - 3) + ... + 0
2= (0 + n - 1) * n / 2
3= O (n ^2)
当然并不是所有的双重循环都是 O(n²)，比如下面这段输出 30n 次 Hello,五分钟学算法：）的代码。
1void printInformation (int n ){
2 for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
3 for (int j = 1 ; j <= 30 ; j ++)
4 cout<< "Hello,五分钟学算法：）"<< endl;
5}
O(logn)
1int binarySearch( int arr[], int n , int target){
2 int l = 0, r = n - 1;
3 while ( l <= r) {
4 int mid = l + (r - l) / 2;
5 if (arr[mid] == target) return mid;
6 if (arr[mid] > target ) r = mid - 1;
7 else l = mid + 1;
8 }
9 return -1;
10}
在二分查找法的代码中，通过while循环，成 2 倍数的缩减搜索范围，也就是说需要经过 log2^n 次即可跳出循环。
同样的还有下面两段代码也是 O(logn) 级别的时间复杂度。
1 // 整形转成字符串
2 string intToString ( int num ){
3 string s = "";
4 // n 经过几次“除以10”的操作后，等于0
5 while (num ){
6 s += '0' + num%10;
7 num /= 10;
8 }
9 reverse(s)
10 return s;
11 }
1void hello (int n ) {
2 // n 除以几次 2 到 1
3 for ( int sz = 1; sz < n ; sz += sz)
4 for (int i = 1; i < n; i++)
5 cout<< "Hello,五分钟学算法：）"<< endl;
6}
O(nlogn)
将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logn)，也就是了O(nlogn)。
1void hello (){
2 for( m = 1 ; m < n ; m++){
3 i = 1;
4 while( i < n ){
5 i = i * 2;
6 }
7 }
8}
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