P4838 P哥破解密码

题目背景

P哥是一个经常丢密码条的男孩子。

在ION 8102赛场上,P哥又弄丢了密码条,笔试满分的他当然知道这可是要扣5分作为惩罚的,于是他开始破解ION Xunil系统的密码。

题目描述

定义一个串合法，当且仅当串只由A和B构成，且没有连续的3个A。P哥知道，密码就是长度为N的合法字符串数量对192608171926081719260817取模的结果。但是P哥不会算，所以他只能把NNN告诉你，让你来算

至于为什么要对这个数取模，好像是因为纪念某个人，但到底是谁，P哥也不记得了

然而他忘记字符串长度N应该是多少了，于是他准备试M组数据。

输入输出格式

输入格式：

第一行给出一个整数M表示询问次数

接下来M行每行给出一个正整数N,表示该组询问中字符串的长度

输出格式：

对于每一次询问输出一行一个整数表示答案

输入输出样例

输入样例#1： 

3
1
3
6

输出样例#1： 

2
7
44

说明

样例部分解释:

长度为1时只有"A"和“B“两种排列,都是合法的

长度为3时除了"AAA"是不合法的其他都是可以的，故有2³−1种

数据范围

对于20%数据,全部N≤20,M≤2

对于70%数据,全部N≤10⁷

对于100%数据,全部N≤10⁹,M≤10

 

Solution：

　　本题矩阵快速幂。

　　还是先打表观察波小数据，

　　表：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
using namespace std;
ll cnt,a[100],ans,n;

void dfs(int now){
    if(now>n) {ans++;return;}
    a[now]=1,dfs(now+1),a[now]=0;
    if(now<=2||(a[now-2]|a[now-1])) dfs(now+1);
}

int main(){
    while(n<=20) ++n,dfs(1),cout<<ans<<' ',ans=0;
    return 0; 
}

　　然后就会发现数列规律：$f[1]=2,f[2]=4,f[3]=7…f[i]=f[i-1]+f[i-2]+f[i-3]$

　　于是直接跑矩乘就好了。

代码：

/*Code by 520 -- 10.8*/
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define RE register
#define For(i,a,b) for(RE int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(RE int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
#define clr(p) memset(&p,0,sizeof(p))
using namespace std;
const int mod=19260817;
struct matrix{
    int r,c; ll a[3][3];
}ans,tp;

il matrix mul(matrix x,matrix y){
    matrix tp; clr(tp);
    tp.r=x.r,tp.c=y.c;
    For(i,0,x.r-1) For(j,0,y.c-1) For(k,0,x.c-1)
    tp.a[i][j]=(tp.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j]%mod)%mod;
    return tp;
}

int main(){
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--){
        ll n;scanf("%lld",&n);
        clr(ans),clr(tp);
        ans.r=1,ans.c=3; tp.r=tp.c=3;
        ans.a[0][0]=1,ans.a[0][1]=2,ans.a[0][2]=4;
        tp.a[0][2]=tp.a[1][0]=tp.a[1][2]=tp.a[2][1]=tp.a[2][2]=1;
        while(n){
            if(n&1) ans=mul(ans,tp);
            n>>=1,tp=mul(tp,tp);
        }
        printf("%lld\n",ans.a[0][0]);
    }
    return 0;
}