P2518 [HAOI2010]计数

题目描述

你有一组非零数字（不一定唯一），你可以在其中插入任意个0，这样就可以产生无限个数。比如说给定{1,2},那么可以生成数字12,21,102,120,201,210,1002,1020,等等。

现在给定一个数，问在这个数之前有多少个数。（注意这个数不会有前导0）.

输入输出格式

输入格式：

只有1行，为1个整数n.

输出格式：

只有整数，表示N之前出现的数的个数。

输入输出样例

输入样例#1： 

1020

输出样例#1： 

7

说明

n的长度不超过50，答案不超过2^63-1.

 

Solution：

　　本题组合数学（感觉不像数位dp啊）。

　　题意就是给你一个50位的数，求用各数位上的数能组成多少小于它的数。

　　我们把给定的数当作n个数字的一个排列（不足n位的可以理解为含有前导0），那么题意转化为字典序小于当前排列的个数有多少个。

　　于是统计下各个数码的出现次数，然后就能一位一位的计算情况了。考虑到了第$i$位小于某一排列的情况，直接枚举第$i$位可填的数字，那么后面的$n-i$个数位可以随便填数，设剩下的数码个数依次为$a_0,a_1,a_2…a_9$，则填$0$有$C(n-i,a_0)$种方案，再填$1$有$C(n-i-a_0,a_1)$种方案…不难得到当前的总方案为$C(n-i,a_0)*C(n-i-a_0,a_1)…*C(n-i-a_0-a_1-…a_8,a_9)$。然后累加每位填数情况的方案数就好了。

代码：

/*Code by 520 -- 9.18*/
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define RE register
#define For(i,a,b) for(RE int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(RE int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
using namespace std;
const int N=55;
int n,a[N],cnt,tot[N];
char s[N];
ll ans,c[N][N];

il ll calc(){
    ll ans=1;
    int m=cnt;
    For(i,0,9) if(tot[i]) ans*=c[m][tot[i]],m-=tot[i];
    return ans;    
}

int main(){
    For(i,0,50) c[i][0]=1;
    For(i,1,50) For(j,1,i) c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
    scanf("%s",s+1),n=cnt=strlen(s+1);
    For(i,1,cnt) a[i]=(s[i]^48),tot[a[i]]++;
    For(i,1,n) {
        cnt--;
        For(j,0,a[i]-1)
            if(tot[j]) tot[j]--,ans+=calc(),tot[j]++;
        tot[a[i]]--;    
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}