P2766 最长不下降子序列问题

题目描述

«问题描述：

给定正整数序列x1,...,xn 。

（1）计算其最长不下降子序列的长度s。

（2）计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为s的不下降子序列。

（3）如果允许在取出的序列中多次使用x1和xn，则从给定序列中最多可取出多少个长度为s的不下降子序列。

«编程任务：

设计有效算法完成（1）（2）（3）提出的计算任务。

输入输出格式

输入格式：

第1 行有1个正整数n，表示给定序列的长度。接下来的1 行有n个正整数n:x1, ..., xn。

输出格式：

第1 行是最长不下降子序列的长度s。第2行是可取出的长度为s 的不下降子序列个数。第3行是允许在取出的序列中多次使用x1和xn时可取出的长度为s 的不下降子序列个数。

输入输出样例

输入样例#1： 

4
3 6 2 5

输出样例#1： 

2
2
3

说明

n≤500

 

Solution：

　　本题简单dp+最大流。

　　第一问直接煞笔dp。

　　第二问求最多取出多少个长度为$x=max(f[i])$的子序列，因为每个数要么不选要么只选1次，这样有上下界的题目，考虑拆点跑最大流咯，将每个数拆成$i\rightarrow i'$连流量为1，若$f[i]==1$则$s\rightarrow i$连流量为1，若$f[i]==x$则$i'\rightarrow t$连流量为1，若$f[i]==f[j]+1,j<i,a_j\leq a_i$则$j'\rightarrow i$连流量为1，跑最大流就好了。

　　第三问可以重复用$a_1$和$a_n$，那么改变的就是与这两点直接相关的边的流量了，我们在第二问的答案基础上，加入新边，$1\rightarrow 1'$流量inf，$n\rightarrow n'$流量inf，$s\rightarrow 1$流量inf，若$f[n]==x$则$n'\rightarrow t$流量inf，再跑下最大流就好了。

　　（实际上本题第三问有bug，比如最长不下降子序列长度为1，那么第三问答案就应该是inf了，inf不确定，于是乎出锅咯！反正实践证明没这数据，嘿嘿嘿！>.@_@.<）

代码：

/*Code by 520 -- 9.1*/
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define RE register
#define For(i,a,b) for(RE int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(RE int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
using namespace std;
const int N=1050,M=2500005,inf=0x7fffffff;
int n,a[N],f[N],s,t=1001;
int h[N],dis[N],to[M],net[M],w[M],cnt=1;
int ans1,ans2;

il void add(int u,int v,int c){
    to[++cnt]=v,net[cnt]=h[u],w[cnt]=c,h[u]=cnt;
    to[++cnt]=u,net[cnt]=h[v],w[cnt]=0,h[v]=cnt;
}

il bool bfs(){
    queue<int>q;
    memset(dis,-1,sizeof(dis));
    q.push(s),dis[s]=0;
    while(!q.empty()){
        RE int u=q.front();q.pop();
        for(RE int i=h[u];i;i=net[i])
            if(dis[to[i]]==-1&&w[i]) dis[to[i]]=dis[u]+1,q.push(to[i]);
    }
    return dis[t+1]!=-1;
}

int dfs(int u,int op){
    if(u==t+1)return op;
    int flow=0,used=0;
    for(RE int i=h[u];i;i=net[i]){
        int v=to[i];
        if(dis[v]==dis[u]+1&&w[i]){
            used=dfs(v,min(op,w[i]));
            if(!used)continue;
            flow+=used,op-=used;
            w[i]-=used,w[i^1]+=used;
            if(!op)break;
        }
    }
    if(!flow) dis[u]=-1;
    return flow;
}

il void init(){
    scanf("%d",&n);
    For(i,1,n) scanf("%d",&a[i]),f[i]=1;
    For(i,1,n) For(j,1,i-1) if(a[i]>=a[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
    For(i,1,n) ans1=max(ans1,f[i]);
    printf("%d\n",ans1);
    For(i,1,n) {
        add(i,i+n,1);
        if(f[i]==1) add(i+n,t,1);
        if(f[i]==ans1) add(s,i,1);
    }
    add(t,t+1,inf);
    For(i,1,n) For(j,1,i-1) if(f[i]==f[j]+1&&a[i]>=a[j]) add(i+n,j,1);
    while(bfs()) ans2+=dfs(s,inf);
    printf("%d\n",ans2);
    add(n+1,t,inf),add(1,n+1,inf),add(n,n<<1,inf);
    if(f[n]==ans1) add(s,n,inf);
    while(bfs()) ans2+=dfs(s,inf);
    printf("%d\n",ans2);
}

int main(){
    init();
    return 0;
}