P1297 [国家集训队]单选错位
题目背景
原 《网线切割》请前往P1577
题目描述
gx和lc去参加noip初赛，其中有一种题型叫单项选择题，顾名思义，只有一个选项是正确答案。试卷上共有n道单选题，第i道单选题有ai个选项，这ai个选项编号是1,2,3,…,ai，每个选项成为正确答案的概率都是相等的。lc采取的策略是每道题目随机写上1-ai的某个数作为答案选项，他用不了多少时间就能期望做对 ∑i=1n1ai\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}∑i=1nai1 道题目。gx则是认认真真地做完了这n道题目，可是等他做完的时候时间也所剩无几了，于是他匆忙地把答案抄到答题纸上，没想到抄错位了：第i道题目的答案抄到了答题纸上的第i+1道题目的位置上，特别地，第n道题目的答案抄到了第1道题目的位置上。现在gx已经走出考场没法改了，不过他还是想知道自己期望能做对几道题目，这样他就知道会不会被lc鄙视了。
我们假设gx没有做错任何题目，只是答案抄错位置了。
输入输出格式
输入格式：n很大，为了避免读入耗时太多，输入文件只有5个整数参数n, A, B, C, a1，由上交的程序产生数列a。下面给出pascal/C/C++的读入语句和产生序列的语句（默认从标准输入读入）：
// for pascal
readln(n,A,B,C,q[1]);
for i:=2 to n do
q[i] := (int64(q[i-1]) * A + B) mod 100000001;
for i:=1 to n do
q[i] := q[i] mod C + 1;
// for C/C++
scanf("%d%d%d%d%d",&n,&A,&B,&C,a+1);
for (int i=2;i<=n;i++)
a[i] = ((long long)a[i-1] * A + B) % 100000001;
for (int i=1;i<=n;i++)
a[i] = a[i] % C + 1;选手可以通过以上的程序语句得到n和数列a（a的元素类型是32位整数），n和a的含义见题目描述。
输出格式：输出一个实数，表示gx期望做对的题目个数，保留三位小数。
输入输出样例
说明
【样例说明】
正确答案 | gx的答案 | 做对题目| 出现概率
{1,1,1} | {1,1,1} | 3 | 1/6
{1,2,1} | {1,1,2} | 1 | 1/6
{1,3,1} | {1,1,3} | 1 | 1/6
{2,1,1} | {1,2,1} | 1 | 1/6
{2,2,1} | {1,2,2} | 1 | 1/6
{2,3,1} | {1,2,3} | 0 | 1/6a[] = {2,3,1}
共有6种情况，每种情况出现的概率是1/6，gx期望做对(3+1+1+1+1+0)/6 = 7/6题。（相比之下，lc随机就能期望做对11/6题）
对于30%的数据 n≤10, C≤10
对于80%的数据 n≤10000, C≤10
对于90%的数据 n≤500000, C≤100000000
对于100%的数据 2≤n≤10000000, 0≤A,B,C,a1≤100000000
Solution：
读懂题了就不难了，对于第$i$道题，因为$a_i\in[1,a_i]$，所以对于第$i$道题的选择范围$a_i\cup a_{i+1}=max(a_i,a_{i+1})$，所以每道题做对的可能性就是$\frac{1}{max(a_i,a_{i+1})}$，于是，我们只要$O(n)$扫一遍累加答案，$ans=\sum\limits_{i=1}^{i<n}{(\frac{1}{\max(a_i,a_{i+1})})}+\frac{1}{\max(a_1,a_n)}$就好了。
代码：
#include<bits/stdc++.h> #define il inline #define ll long long #define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++) #define Bor(i,a,b) for(int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--) using namespace std; ll n,A,B,C,x,a,b; double ans; int main(){ cin>>n>>A>>B>>C>>x; a=x; For(i,2,n) b=(a*A+B)%100000001,ans+=1.0/max(a%C+1,b%C+1),a=b; ans+=1.0/max(x%C+1,b%C+1); printf("%.3lf",ans); return 0; }
