P2679 子串
题目描述
有两个仅包含小写英文字母的字符串 AA 和 BB 。
现在要从字符串 AA 中取出 kk 个互不重叠的非空子串，然后把这 kk 个子串按照其在字符串 AA 中出现的顺序依次连接起来得到一个新的字符串。请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 BB 相等？
注意：子串取出的位置不同也认为是不同的方案。
输入输出格式
输入格式：
第一行是三个正整数 n,m,kn,m,k ，分别表示字符串 AA 的长度，字符串 BB 的长度，以及问题描述中所提到的 kk ，每两个整数之间用一个空格隔开。
第二行包含一个长度为 nn 的字符串，表示字符串 AA 。
第三行包含一个长度为 mm 的字符串，表示字符串 BB 。
输出格式：
一个整数，表示所求方案数。
由于答案可能很大，所以这里要求输出答案对 10000000071000000007 取模的结果。
输入输出样例
说明
对于第 1 组数据: 1≤n≤500,1≤m≤50,k=11≤n≤500,1≤m≤50,k=1 ;
对于第 2 组至第 3 组数据: 1≤n≤500,1≤m≤50,k=21≤n≤500,1≤m≤50,k=2 ;
对于第 4 组至第 5 组数据: 1≤n≤500,1≤m≤50,k=m1≤n≤500,1≤m≤50,k=m ;
对于第 1 组至第 7 组数据: 1≤n≤500,1≤m≤50,1≤k≤m1≤n≤500,1≤m≤50,1≤k≤m ;
对于第 1 组至第 9 组数据: 1≤n≤1000,1≤m≤100,1≤k≤m1≤n≤1000,1≤m≤100,1≤k≤m ;
对于所有 10 组数据: 1≤n≤1000,1≤m≤200,1≤k≤m1≤n≤1000,1≤m≤200,1≤k≤m 。
Solution：
注意选的子串是按顺序连接，每个位置要么选要么不选，很显然的满足最优子结构，而一般字符串DP都是直接定义状态$f[i][j]$表示匹配到$a$串的第$i$位和$b$串的第$j$位的某个值。
本题由于多了个限制只能选$k$个子串，我们可以先尝试这样去定义状态，$f[i][j][k]$第三维表示当前状态选了多少个子串，但是很显然转移时无法考虑当前第$i$位究竟选还是不选，于是我们再多加一维，用$f[i][j][k][p]$第四维表示当前第$i$个字符选还是不选。
那么不难得到状态转移方程：
当$a_i=b_j$时，$f[i][j][k][0]=f[i-1][j][k][0]+f[i-1][j][k][1]，f[i][j][k][1]=f[i-1][j-1][k-1][1]+f[i-1][j-1][k-1][0]+f[i][j-1][k][1]$
当$a_i\neq b_j$时，$f[i][j][k][0]=f[i-1][j][k][0]+f[i-1][j][k][1],f[i][j][k][1]=0$
然后存在一个问题就是直接这样定义状态会爆空间，而我们发现状态第一维每次都是从上一次转移，于是果断滚掉就好了。
代码：
#include<bits/stdc++.h> #define il inline #define ll long long #define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++) #define Bor(i,a,b) for(int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--) using namespace std; const int mod=1e9+7,M=1005; int n,m,k,f[2][M/5][M/5][2],t; char a[M],b[M]; int main(){ scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); scanf("%s%s",a+1,b+1); f[0][0][0][0]=f[1][0][0][0]=1; For(i,1,n) { For(j,1,m) For(p,1,k) if(a[i]==b[j]) f[t^1][j][p][0]=(f[t][j][p][0]+f[t][j][p][1])%mod, f[t^1][j][p][1]=((f[t][j-1][p][1]+f[t][j-1][p-1][1])%mod+f[t][j-1][p-1][0])%mod; else f[t^1][j][p][0]=(f[t][j][p][0]+f[t][j][p][1])%mod, f[t^1][j][p][1]=0; t^=1; } cout<<(f[t][m][k][0]+f[t][m][k][1])%mod; return 0; }
