P2503 [HAOI2006]均分数据

题目描述

已知N个正整数：A1、A2、……、An 。今要将它们分成M组，使得各组数据的数值和最平均，即各组的均方差最小。均方差公式如下：

输入输出格式

输入格式：

 

输入文件data.in包括：

第一行是两个整数，表示N,M的值（N是整数个数，M是要分成的组数）

第二行有N个整数，表示A1、A2、……、An。整数的范围是1--50。

（同一行的整数间用空格分开）

 

输出格式：

 

输出文件data.out包括一行，这一行只包含一个数，表示最小均方差的值(保留小数点后两位数字)。

 

输入输出样例

输入样例#1： 

6 3
1 2 3 4 5 6

输出样例#1： 

0.00

说明

样例解释：1和6、2和5、3和4分别为一组

【数据规模】

对于40%的数据，保证有K<=N <= 10，2<=K<=6

对于全部的数据，保证有K<=N <= 20，2<=K<=6

 

Solution：

　　不多逼逼，直接退火。

　　我们首先对式子拆开得到：$\sigma ^2 * m= \sum\limits_{i=1}^{i\leq m}{(x_i-\overline{x})^2}=\sum\limits_{i=1}^{i\leq m}{x_i^2}-2\overline{x}\sum\limits_{i=1}^{i\leq m}{x_i}+\sum\limits_{i=1}^{i\leq m}{\overline{x}}$。

　　因为和不变，组数固定，所以可以确定的是$m$组的平均值$\overline{x}$和总和$\sum\limits_{i=1}^{i\leq m}{x_i}$是定值，所以我们现在只要使得$\sum\limits_{i=1}^{i\leq m}{x_i^2}$尽可能的小。

　　然后我们引入基本不等式；$a^2+b^2\geq 2ab$，证明显然，于是得到$a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}$。

　　推广到多元：$x_1^2+x_2^2+…+x_k^2\geq \frac{(x_1+x_2+…x_k)^2}{k}$，证明很简单，直接左右同乘$k$，再对右式拆开，移项就能得到多个二元基本不等式，合起来就好了。

　　考虑取等条件，$x_1=x_2=…=x_k$。

　　于是本题我们要使$\sum\limits_{i=1}^{i\leq m}{x_i^2}$尽可能小，就得使$x_i$尽可能相等。

　　那么直接模拟退火，随机出某个数的分组，贪心的将其加入到当前和最少的分组中，有一定概率的使用较差的解，调好常数，多随机一下就好了。

　　最后只需要输出$\sqrt{\frac{sum}{m}}$就$OK$了。

代码：

 

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define Min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))
#define sqr(a) ((a)*(a))
using namespace std;
const int inf=1e9+7;
const double eps=1e-15,r=0.99;
int n,m,num[25],be[25];
double sum[25],ave=0,ans=1e15;

il void SA(){
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    double tmp=0,T=10005;
    For(i,1,n) be[i]=rand()%m+1,sum[be[i]]+=num[i];
    For(i,1,m) tmp+=sqr(sum[i]-ave);
    while(T>eps){
        int p=min_element(sum+1,sum+m+1)-sum;
        int pos=rand()%n+1;
        double pre=tmp;
        tmp-=sqr(sum[be[pos]]-ave)+sqr(sum[p]-ave);
        sum[be[pos]]-=num[pos],sum[p]+=num[pos];
        tmp+=sqr(sum[be[pos]]-ave)+sqr(sum[p]-ave);
        if(tmp<pre||exp((tmp-pre)/T)*RAND_MAX<rand()) be[pos]=p;
        else tmp=pre,sum[be[pos]]+=num[pos],sum[p]-=num[pos];
        T*=r;
    }
    if(tmp<ans)ans=tmp;
}

int main(){
    srand(time(0));
    cin>>n>>m;
    For(i,1,n) cin>>num[i],ave+=num[i];
    ave/=m;
    For(i,1,1000) SA();
    printf("%.2lf",sqrt(ans/m));
    return 0;
}