P1514 引水入城

题目描述

在一个遥远的国度，一侧是风景秀美的湖泊，另一侧则是漫无边际的沙漠。该国的行政区划十分特殊，刚好构成一个 NN 行 \times M×M 列的矩形，如上图所示，其中每个格子都代表一座城市，每座城市都有一个海拔高度。

为了使居民们都尽可能饮用到清澈的湖水，现在要在某些城市建造水利设施。水利设施有两种，分别为蓄水厂和输水站。蓄水厂的功能是利用水泵将湖泊中的水抽取到所在城市的蓄水池中。

因此，只有与湖泊毗邻的第 11 行的城市可以建造蓄水厂。而输水站的功能则是通过输水管线利用高度落差，将湖水从高处向低处输送。故一座城市能建造输水站的前提，是存在比它海拔更高且拥有公共边的相邻城市，已经建有水利设施。由于第 NN 行的城市靠近沙漠，是该国的干旱区，所以要求其中的每座城市都建有水利设施。那么，这个要求能否满足呢？如果能，请计算最少建造几个蓄水厂；如果不能，求干旱区中不可能建有水利设施的城市数目。

输入输出格式

输入格式：

 

每行两个数，之间用一个空格隔开。输入的第一行是两个正整数 N,MN,M ，表示矩形的规模。接下来 NN 行，每行 MM 个正整数，依次代表每座城市的海拔高度。

 

输出格式：

 

两行。如果能满足要求，输出的第一行是整数 11 ，第二行是一个整数，代表最少建造几个蓄水厂；如果不能满足要求，输出的第一行是整数 00 ，第二行是一个整数，代表有几座干旱区中的城市不可能建有水利设施。

 

输入输出样例

输入样例#1： 

2 5
9 1 5 4 3
8 7 6 1 2

输出样例#1： 

1
1

输入样例#2： 

3 6
8 4 5 6 4 4
7 3 4 3 3 3
3 2 2 1 1 2

输出样例#2： 

1
3

说明

【样例1 说明】

只需要在海拔为 99 的那座城市中建造蓄水厂，即可满足要求。

【样例2 说明】

上图中，在 33 个粗线框出的城市中建造蓄水厂，可以满足要求。以这 33 个蓄水厂为源头在干旱区中建造的输水站分别用3 种颜色标出。当然，建造方法可能不唯一。

【数据范围】

 

 

Solution：

　　本题思路ZYYS。

　　对于判断是否可行，直接从第一行的每个点dfs一遍，最后看第n行是否有点没有被访问，就能判断出不可行的情况了。

　　那么对于第二问，求可行的情况下的最少建厂个数，一个比较直观的想法是在判断可行的dfs中，同时处理出第一行每个点能各自给第n行供水的最左端和最右端，那么最后就只需再贪心的选取厂就好了。

　　但是，这样复杂度是$O(n\times m^2+m^2)$，对于$500$的数据就有点虚了。

　　不难发现，每次深搜可能会重复访问点，而改点所对应的能给第n行供水的最左端和最右端并不会改变，重复访问显然没有必要。

　　所以我们想到记忆化搜索。

　　令$l[i][j]$表示点$(i,j)$能在第n行控制的最左端位置，$r[i][j]$表示点$(i,j)$能在第n行控制的最右端位置。

　　那么状态转移方程就显而易见了：$l[i][j]=min(l[i][j],l[p][q]),\;r[i][j]=max(r[i][j],r[p][q])$（其中$(p,q)$为$(i,j)$能达到的点，即存在从$(i,j)$到$(p,q)$的一条路径使得路径上经过的点高度小于$(i,j)$的高度）。

　　最后求最小方案的贪心也比较简单，在左端连续的情况下，尽可能的往右延伸，直到覆盖整个$m$个城市。显然这样贪心是正确的。

代码：

 

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define Min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))
using namespace std;
const int N=505,dx[4]={1,-1,0,0},dy[4]={0,0,1,-1};
int mp[N][N],l[N][N],r[N][N],n,m,tot;
bool vis[N][N],f;

il int gi(){
    int a=0;char x=getchar();bool f=0;
    while((x<'0'||x>'9')&&x!='-')x=getchar();
    if(x=='-')x=getchar(),f=1;
    while(x>='0'&&x<='9')a=(a<<3)+(a<<1)+x-48,x=getchar();
    return f?-a:a;
}

il void dfs(int x,int y){
    vis[x][y]=1;
    For(i,0,3){
        int xx=x+dx[i],yy=y+dy[i];
        if(xx<1||yy<1||xx>n||yy>m)continue;
        if(mp[xx][yy]<mp[x][y]){
            if(!vis[xx][yy])dfs(xx,yy);
            l[x][y]=min(l[x][y],l[xx][yy]);
            r[x][y]=max(r[x][y],r[xx][yy]);
        }
    }
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    n=gi(),m=gi();
    memset(l,0x3f,sizeof(l));
    For(i,1,m) l[n][i]=r[n][i]=i;
    For(i,1,n) For(j,1,m) mp[i][j]=gi();
    For(i,1,m) if(!vis[1][i]) dfs(1,i);
    For(i,1,m) if(!vis[n][i]) tot++,f=1;
    if(f)cout<<0<<endl<<tot;
    else {
        int pos=1,lp=1;
        while(pos<=m){
            For(i,1,m)
                if(l[1][i]<=lp) pos=max(pos,r[1][i]);
            pos++;tot++;lp=pos;
        }
        cout<<1<<endl<<tot;
    }
    return 0;
}