P4438 [HNOI/AHOI2018]道路
题目描述
W 国的交通呈一棵树的形状。W 国一共有 n - 1n−1 个城市和 nn 个乡村，其中城市从 11 到 n - 1n−1 编号，乡村从 11 到 nn编号，且 11 号城市是首都。道路都是单向的，本题中我们只考虑从乡村通往首都的道路网络。对于每一个城市，恰有一条公路和一条铁路通向这座城市。对于城市i， 通向该城市的道路（公路或铁路）的起点，要么是一个乡村，要么是一个编号比 ii 大的城市。 没有道路通向任何乡村。除了首都以外，从任何城市或乡村出发只有一条道路；首都没有往 外的道路。从任何乡村出发，沿着唯一往外的道路走，总可以到达首都。
W 国的国王小 W 获得了一笔资金，他决定用这笔资金来改善交通。由于资金有限，小 W 只能翻修 n - 1n−1 条道路。小 W 决定对每个城市翻修恰好一条通向它的道路，即从公路和铁 路中选择一条并进行翻修。小 W 希望从乡村通向城市可以尽可能地便利，于是根据人口调 查的数据，小 W 对每个乡村制定了三个参数，编号为 ii 的乡村的三个参数是 a_iai ， b_ibi 和 c_ici 。假设 从编号为 ii 的乡村走到首都一共需要经过 xx 条未翻修的公路与 yy 条未翻修的铁路，那么该乡村 的不便利值为
c_i \cdot (a_i + x) \cdot (b_i + y)ci⋅(ai+x)⋅(bi+y)
在给定的翻修方案下，每个乡村的不便利值相加的和为该翻修方案的不便利值。 翻修 n - 1n−1 条道路有很多方案，其中不便利值最小的方案称为最优翻修方案，小 W 自然 希望找到最优翻修方案，请你帮助他求出这个最优翻修方案的不便利值。
输入输出格式
输入格式：
第一行为正整数 nn 。
接下来 n - 1n−1 行，每行描述一个城市。其中第 ii 行包含两个数 s_i,t_isi,ti 。 s_isi 表示通向第 ii 座城市 的公路的起点， t_iti表示通向第i座城市的铁路的起点。如果 s_i > 0si>0 ，那么存在一条从第 s_isi 座城 市通往第 ii 座城市的公路，否则存在一条从第 -s_i−si 个乡村通往第i座城市的公路； t_iti 类似地，如 果 t_i > 0ti>0 ，那么存在一条从第 t_iti 座城市通往第i座城市的铁路，否则存在一条从第 -t_i−ti 个乡村通 往第 ii 座城市的铁路。
接下来 nn 行，每行描述一个乡村。其中第i行包含三个数 a_i,b_i,c_iai,bi,ci ，其意义如题面所示。
输出格式：
输出一行一个整数，表示最优翻修方案的不便利值。
输入输出样例
6
2 3
4 5
-1 -2
-3 -4
-5 -6
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
54
9
2 -2
3 -3
4 -4
5 -5
6 -6
7 -7
8 -8
-1 -9
1 60 1
1 60 1
1 60 1
1 60 1
1 60 1
1 60 1
1 60 1
1 60 1
1 60 1
548
12
2 4
5 3
-7 10
11 9
-1 6
8 7
-6 -10
-9 -4
-12 -5
-2 -3
-8 -11
53 26 491
24 58 190
17 37 356
15 51 997
30 19 398
3 45 27
52 55 838
16 18 931
58 24 212
43 25 198
54 15 172
34 5 524
5744902
说明
【样例解释 1】
如图所示，我们分别用蓝色、黄色节点表示城市、乡村；用绿色、红色箭头分别表示 公路、铁路；用加粗箭头表示翻修的道路。
一种不便利值等于54的方法是：翻修通往城市2和城市5的铁路，以及通往其他城市的 公路。用→和⇒表示公路和铁路，用∗→和∗⇒表示翻修的公路和铁路，那么：
编号为1的乡村到达首都的路线为：-1 ∗→ 3 ⇒ 1，经过0条未翻修公路和1条未翻修铁 路，代价为3 × (1 + 0) × (2 + 1) = 9；
编号为2的乡村到达首都的路线为：-2 ⇒ 3 ⇒ 1，经过0条未翻修公路和2条未翻修铁 路，代价为2 × (1 + 0) × (3 + 2) = 10；
编号为3的乡村到达首都的路线为：-3 ∗→ 4 → 2 ∗→ 1，经过1条未翻修公路和0条未 翻修铁路，代价为3 × (2 + 1) × (1 + 0) = 9；
编号为4的乡村到达首都的路线为：-4 ⇒ 4 → 2 ∗→ 1，经过1条未翻修公路和1条未翻 修铁路，代价为1 × (2 + 1) × (3 + 1) = 12；
编号为5的乡村到达首都的路线为：-5 → 5 ∗⇒ 2 ∗→ 1，经过1条未翻修公路和0条未 翻修铁路，代价为2 × (3 + 1) × (1 + 0) = 8；
编号为6的乡村到达首都的路线为：-6 ∗⇒ 5 ∗⇒ 2 ∗→ 1，经过0条未翻修公路和0条未翻修铁路，代价为1 × (3 + 0) × (2 + 0) = 6；
总的不便利值为9 + 10 + 9 + 12 + 8 + 6 = 54。可以证明这是本数据的最优解。
【样例解释 2】
在这个样例中，显然应该翻修所有公路。
【数据范围】 一共20组数据，编号为1 ∼ 20。 对于编号 \le 4≤4 的数据， n \le 20n≤20 ；
对于编号为5 ∼ 8的数据， a_i,b_i,c_i \le 5ai,bi,ci≤5 ， n \le 50n≤50 ；
对于编号为9 ∼ 12的数据， n \le 2000n≤2000 ；
对于所有的数据， n \le 20000n≤20000 ， 1 \le a_i,b_i \le 601≤ai,bi≤60 ， 1 \le c_i \le 10^91≤ci≤109 ， s_i,t_isi,ti 是 [-n,-1] \cup (i,n - 1][−n,−1]∪(i,n−1] 内的整数，任意乡村可以通过不超过40条道路到达首都。
Solution:
本题是今年湖南省选的魔性Day2的T3。 今天集训又考了本题的改编，记得当时考场上本题原题就没想出来，于是今天补个坑。 题目中有个特别重要的信息：一定是一棵以$1$为根的二叉树，且每个节点到两个子儿子的边中必须且只能删去其中一条。 于是，对于每个节点，要么删与其相连的公路，要么删与其相连的铁路。
所以定义状态$f[i][j][k]$表示从下往上删到$i$节点时，有$j$条公路和$k$条铁路没被删的最少代价。
那么目标状态就是$f[1][0][0]$，初始化直接为$0$，对于所有的叶子节点$p$都有$f[p][i][j]=c[p]\times (a[p]+i)\times (b[p]+j)$。
不难得到状态转移方程：$f[u][i][j]=min(f[s[u]][i][j]+f[t[u]][i][j+1],f[s[u]][i+1][j]+f[t[u]][i][j+1])$（其中$s[u]$表示到$u$的公路所连节点，$t[u]$则表示铁路所连节点）
ps：本题巨佬们的$DP$写法都十分的诡异，我的是卡着空间和时间过的，可以学习一下巨佬们的$DP$思路。
代码：
#include<bits/stdc++.h> #define il inline #define ll long long #define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++) #define Bor(i,a,b) for(int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--) #define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b)) #define Min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a)) using namespace std; const int N=40001; int s[N],t[N],a[N],b[N],c[N],d[N]; ll n,f[N][41][41]; il int gi(){ int a=0;char x=getchar();bool f=0; while((x<'0'||x>'9')&&x!='-')x=getchar(); if(x=='-')x=getchar(),f=1; while(x>='0'&&x<='9')a=(a<<3)+(a<<1)+x-48,x=getchar(); return f?-a:a; } il void dfs(int u){ if(u>=n){For(i,0,d[u]) For(j,0,d[u]) f[u][i][j]=1ll*c[u]*(a[u]+i)*(b[u]+j);return;} d[s[u]]=d[u]+1,d[t[u]]=d[u]+1; dfs(s[u]),dfs(t[u]); For(i,0,d[u]) For(j,0,d[u]) f[u][i][j]=min(f[s[u]][i+1][j]+f[t[u]][i][j],f[s[u]][i][j]+f[t[u]][i][j+1]); } int main(){ n=gi(); For(i,1,n-1) { s[i]=gi();t[i]=gi(); s[i]=s[i]>0?s[i]:n-s[i]-1; t[i]=t[i]>0?t[i]:n-t[i]-1; } For(i,n,(n<<1)-1) a[i]=gi(),b[i]=gi(),c[i]=gi(); dfs(1); printf("%lld\n",f[1][0][0]); return 0; }
