P2507 [SCOI2008]配对
题目背景
四川NOI2008省选
题目描述
你有 n 个整数Ai和n 个整数Bi。你需要把它们配对，即每个Ai恰好对应一个Bp[i]。要求所有配对的整数差的绝对值之和尽量小，但不允许两个相同的数配对。例如A={5,6,8}，B={5,7,8}，则最优配对方案是5ó8, 6ó5, 8ó7，配对整数的差的绝对值分别为2, 2, 1，和为5。注意，5ó5，6ó7，8ó8是不允许的，因为相同的数不许配对。
输入输出格式
输入格式：第一行为一个正整数n，接下来是n 行，每行两个整数Ai和Bi，保证所有
Ai各不相同，Bi也各不相同。
输出格式：输出一个整数，即配对整数的差的绝对值之和的最小值。如果无法配对，输
出-1。
输入输出样例
3
3 65
45 10
60 25
32
3
5 5
6 7
8 8
5
说明
30%的数据满足：n <= 10^4
100%的数据满足：1 <= n <= 10^5，Ai和Bi均为1到10^6之间的整数。
Solution：
这个贪心神了。。。`～`（前天写的题，本来是昨天应该写完的博客，结果因为这两天一直卡在几道题上，一直在刚题，忘记这回事了。五月断更了～）
我们首先考虑没有限制条件，即不需要满足配对时$a_i\neq b_i$这个条件，那么很容易想到贪心的思路，直接对$a,b$从小到大排一遍序，然后累加$a,b$同项之差的绝对值即可。
但是现在有了限制，各种方法骚，没有刚过，感觉完全不可做。
后面仔细看题，发现一个超级重要的条件，保证$a$中数各不相同，$b$中数各不相同。
那么就好搞了，我们先对$a,b$各自从小到大排一遍序，然后进行以下操作：
首先考虑输出$-1$的情况：很显然只有当序列长度为$1$且$a_1=b_1$时无解，因为当$n\geq 2$时，由于数各不相同，那么同一个数$a,b$中顶多各自出现一次，我们就可以用后面的数和前面的数配对（显然一定不会相等）。
其次，当有解时，我们贪心的想到，因为每个数顶多在$a,b$中各出现一次，所以当某次$a_i=b_i$时，则$a_i\neq b_{i-1}$且$a_i\neq b_{i+1}$（$b_i$同理），于是我们可以让其和$a_{i-1},b_{i-1}$或者$a_{i+1},b_{i+1}$搭配，或者三个互相搭配，在中间取最小值就好了。（即使这三对数，每对相同，但由于$a,b$中数各自不同，那么这三对数一定可以搭配出两两不同的情况）
那么由于前两次需要判断边界，且$i+1$可能越界。于是将过程改为$a_i,a_{i-1},a_{i-2}$三个比较取最小值（都一样的）。
排序后，求解的整个过程是线性的，于是用$DP$的思想来转移实现。
定义状态$f[i]$表示前$i$个配对能得到的最小值，因为每次转移是三个比较，则初值$f[1]=|a_1-b_1|$，$f[2]=min(f[1]+|a2-b2|,|a1-b2|+|a2-b1|)$（注意当配对的两个数相等时，将其算出的值赋为$inf$）。
那么不难得出状态转移方程：
$f[i]=f[i-1]+|a_i-b_i|$（直接配对$a_i$和$b_i$）
$f[i]=min(f[i],f[i-2]+|a_i-b_{i-1}|+|a_{i-1}-b_i|)$（$i$和$i-1$配对）
$f[i]=min(f[i],f[i-3]+|a_i-b_{i-2}|+|a_{i-1}-b_{i-1}|+|a_{i-2}-b_i|)$（三个配对时，让$i$和$i-2$配对）
$f[i]=min(f[i],f[i-3]+|a_i-b_{i-2}|+|a_{i-1}-b_i|+|a_{i+1}-b_{i-1}|)$（三个配对时，$a,b$两两匹配的一种情况）
$f[i]=min(f[i],f[i-3]+|a_i-b_{i-1}|+|a_{i-1}-b_{i-2}|+|a_{i+1}-b_i|)$（三个配对时，$a,b$两两匹配的另一种情况）
最后目标状态$f[n]$就是答案。
代码：
// luogu-judger-enable-o2 #include<bits/stdc++.h> #define il inline #define ll long long #define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++) #define Min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a)) #define la(a,b) ((a!=b)?((a-b)>0?(a-b):(b-a)):233333333) using namespace std; const int N=100005; ll n,f[N],a[N],b[N]; il int gi(){ int a=0;char x=getchar();bool f=0; while((x<'0'||x>'9')&&x!='-')x=getchar(); if(x=='-')x=getchar(),f=1; while(x>='0'&&x<='9')a=(a<<3)+(a<<1)+x-48,x=getchar(); return f?-a:a; } int main(){ n=gi(); For(i,1,n) a[i]=gi(),b[i]=gi(); sort(a+1,a+n+1);sort(b+1,b+n+1); if(a[1]==b[1]&&n==1){cout<<-1;return 0;} f[1]=la(a[1],b[1]); f[2]=Min(f[1]+la(a[2],b[2]),la(a[1],b[2])+la(a[2],b[1])); For(i,3,n){ f[i]=f[i-1]+la(a[i],b[i]); f[i]=Min(f[i],f[i-2]+la(a[i],b[i-1])+la(a[i-1],b[i])); f[i]=Min(f[i],f[i-3]+la(a[i],b[i-2])+la(a[i-2],b[i])+la(a[i-1],b[i-1])); f[i]=Min(f[i],f[i-3]+la(a[i],b[i-1])+la(a[i-1],b[i-2])+la(a[i-2],b[i])); f[i]=Min(f[i],f[i-3]+la(a[i],b[i-2])+la(a[i-1],b[i])+la(a[i-2],b[i-1])); } cout<<f[n]; return 0; }
