P2135 方块消除

题目描述

Jimmy最近迷上了一款叫做方块消除的游戏。游戏规则如下：n个带颜色方格排成一列，相同颜色的方块连成一个区域（如果两个相邻方块颜色相同，则这两个方块属于同一区域）。为简化题目，将连起来的同一颜色方块的数目用一个数表示。

例如，9 122233331表示为

4 1 2 3 1

1 3 4 1

游戏时，你可以任选一个区域消去。设这个区域包含的方块数为x，则将得到x^2个分值。方块消去之后，其余的方块就会竖直落到底部或其他方块上。而且当有一列方块被完全消去时，其右边的所有方块就会向左移一格。Jimmy希望你能找出得最高分的最佳方案，你能帮助他吗？

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个整数m(1<=m<=50)，表示同颜色方块区域的数目。第二行包含m个数，表示每个方块的颜色（1到m之间的整数）。

输出格式：

仅一个整数，即最高可能得分。

输入输出样例

输入样例#1： 

4
1 2 3 1
1 3 4 1

输出样例#1： 

29

 

Solution：

　　吐槽：本题题面描述的实在是差～～

　　题意其实很简单，直接忽略掉什么下落的情况（因为只有一排，消去后剩余的下落后还是一排），然后每消去一个区域就会得到区域所含个数$b[i]^2$的分值，并且消去该区域后会使本来与被消去区域相邻的两个区域相邻。

　　样例：$122233331$，先消去$2$则$ans+=9$，再消去$3$则$ans+=16$，然后消去$1$则$ans+=4$，最后$ans=29$。

　　不难想到本题就是个区间$DP$，由于多了一个连续区域的判断问题，所以在二维基础上加一维状态：

　　$f[i][j][k]$表示消去第$i$到第$j$区域，最右边界的右边有$k$个没有被删时的最大价值。

　　则初始状态$f[0][0][0]=0$，目标状态$f[1][n][0]$。

　　不难想到状态转移方程：

　　1、初值：$f[l][r][k]=f[l][r-1][0]+(b[r]+k)*(b[r]+k),k\in[0,s[n]-s[r]]$，其中$s$为前缀和数组，$s[n]-s[r]$表示第$r$到第$n$区域的方块个数。表示第$l$到第$r$区域右边界往右有$k$个方块没被删时，价值为第$l$到第$r-1$个区域删完的价值$+$第$r$个区域和其同类方块数和的平方。（注意初值的赋值不符合题目要求，只起到中间转移的作用，但并不影响结果的求解）

　　2、当$a[r]==a[k]$,$f[l][r][j]=Max(f[l][r][j],f[l][k][b[r]+j]+f[k+1][r-1][0]),k\in[l,r),j\in[0,s[n]-s[r]]$。看懂了上面的解释，这个就很容易了，自行理解。

　　当然，其实状态转移时的初值赋值不符条件的问题可以解决，因为本题显然状态不能直接从上一个状态转移过来，此时考虑记搜就更方便直白，但是我强行转为循环就只能这样写了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
using namespace std;
const int N=51;
int n,a[N],b[N],f[N][N][N*3],s[N];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin>>n;
    For(i,1,n)cin>>a[i];
    For(i,1,n)cin>>b[i],s[i]=s[i-1]+b[i];
    For(i,0,n-1) For(l,1,n)
    if(l+i>n)break;
    else{
        int r=l+i;
        For(k,0,s[n]-s[r])f[l][r][k]=f[l][r-1][0]+(b[r]+k)*(b[r]+k);
        Bor(k,l,r-1) if(a[k]==a[r]) For(j,0,s[n]-s[r])
            f[l][r][j]=Max(f[l][r][j],f[l][k][b[r]+j]+f[k+1][r-1][0]);
    }
    cout<<f[1][n][0];
    return 0;
}