P1220 关路灯

题目描述

某一村庄在一条路线上安装了n盏路灯，每盏灯的功率有大有小（即同一段时间内消耗的电量有多有少）。老张就住在这条路中间某一路灯旁，他有一项工作就是每天早上天亮时一盏一盏地关掉这些路灯。

为了给村里节省电费，老张记录下了每盏路灯的位置和功率，他每次关灯时也都是尽快地去关，但是老张不知道怎样去关灯才能够最节省电。他每天都是在天亮时首先关掉自己所处位置的路灯，然后可以向左也可以向右去关灯。开始他以为先算一下左边路灯的总功率再算一下右边路灯的总功率，然后选择先关掉功率大的一边，再回过头来关掉另一边的路灯，而事实并非如此，因为在关的过程中适当地调头有可能会更省一些。

现在已知老张走的速度为1m/s，每个路灯的位置（是一个整数，即距路线起点的距离，单位：m）、功率（W），老张关灯所用的时间很短而可以忽略不计。

请你为老张编一程序来安排关灯的顺序，使从老张开始关灯时刻算起所有灯消耗电最少（灯关掉后便不再消耗电了）。

输入输出格式

输入格式：

文件第一行是两个数字n(1<=n<=50，表示路灯的总数)和c(1<＝c<=n老张所处位置的路灯号)；

接下来n行，每行两个数据，表示第1盏到第n盏路灯的位置和功率。数据保证路灯位置单调递增。

输出格式：

一个数据，即最少的功耗(单位：J，1J＝1W·s)。

输入输出样例

输入样例#1： 

5 3
2 10
3 20
5 20
6 30
8 10

输出样例#1： 

270  

说明

输出解释：

{此时关灯顺序为3 4 2 1 5，不必输出这个关灯顺序}

 

Solution：

　　本题是一道典型的区间$DP$问题。

　　首先考虑如何定义状态，很容易想到定义$f[i][j]$表示关掉$i-j$的路灯浪费的最小总功率。

　　但是由于题目中可以回走，关掉$i-j$的灯后，并不知道当前在$i,j$中的哪一点。

　　于是再加一维状态，将状态定义为$f[i][j][k],\;i,j\in [1,n],\;k\in [0\;or\;1]$，其中$k=0$表示关掉$i-j$的灯后在$i$点，$k=1$表示关掉$i-j$的灯后在$j$点。

　　再来考虑状态转移，为保证从局部最优扩展到整体最优，于是由小区间更新大区间，所以当前$f[i][j][0]$只与$f[i+1][j][0]$和$f[i+1][j][1]$有关，同理$f[i][j][1]$只与$f[i][j-1][1]$和$f[1][j-1][0]$有关。

　　但是转移时还要知道没有关闭的灯的功率消耗，于是令前缀和$s_i$表示前$i$个灯的总功率，则除开$i-j$的灯，其余的灯的消耗为$s_i+(s_n-s_j)$，其中$s_i$表示前$i$盏灯的功率消耗，$s_n-s_j$表示$j$后面的灯的功率消耗。

　　不难想到状态转移方程：

　　$\left\{\begin{matrix}
 f[i][j][0]=min(f[i+1][j][0]+(a[i+1].pos-a[i].pos)*(s[i]+s[n]-s[j]),f[i+1][j][1]+(a[j].pos-a[i].pos)*(s[i]+s[n]-s[j]))\\
 \quad \;f[i][j][1]=min(f[i][j-1][0]+(a[j].pos-a[i].pos)*(s[i-1]+s[n]-s[j-1]),f[i][j-1][1]+(a[j].pos-a[j-1].pos)*(s[i-1]+s[n]-s[j-1]))\\  
\end{matrix}\right.$

　　最后不要忘了初始化，很简单，由于要取最小值，所以先将$f$初值赋为无穷大，再考虑状态的定义和给出的出发点$c$，则$f[c][c][0]=f[c][c][1]=0$（表示在$c$点直接关掉第$c$盏灯，不需要耗费时间瞬时功率为$0$，停在了$c$点）。

　　实现时，最外层枚举区间长度($k\in [1,n]$)，内层枚举区间起始点($i\in [1,n]$)，注意判断区间是否越界，时间复杂度$O(n^2)$。

　　输出目标状态$min(f[1][n][0],f[1][n][1])$（由于不知道关完$1-n$盏灯后停在$1$点还是$n$点，所以取最小值）

代码：

 

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
using namespace std;
int n,c,f[55][55][2],s[55];
struct point{int pos,w;}a[55];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin>>n>>c;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i].pos>>a[i].w,s[i]=s[i-1]+a[i].w;
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[c][c][0]=f[c][c][1]=0;
    for(int k=1;k<=n;k++)
        for(int i=1;i+k<=n;i++){
            int j=i+k;
            f[i][j][0]=min(f[i+1][j][0]+(a[i+1].pos-a[i].pos)*(s[i]+s[n]-s[j]),f[i+1][j][1]+(a[j].pos-a[i].pos)*(s[i]+s[n]-s[j]));
            f[i][j][1]=min(f[i][j-1][0]+(a[j].pos-a[i].pos)*(s[i-1]+s[n]-s[j-1]),f[i][j-1][1]+(a[j].pos-a[j-1].pos)*(s[i-1]+s[n]-s[j-1]));
        }
    cout<<(min(f[1][n][0],f[1][n][1]));
    return 0;
}