(转载)杨氏矩阵与勾长公式
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杨氏矩阵详解:ORZ
杨氏矩阵又叫杨氏图表,它是这样一个矩阵,满足条件:
(1)如果格子(i,j)没有元素,则它右边和上边的相邻格子也一定没有元素。
(2)如果格子(i,j)有元素a[i][j],则它右边和上边的相邻格子要么没有元素,要么有元素且比a[i][j]大。
1 ~ n所组成杨氏矩阵的个数可以通过下面的递推式得到:
如图就是n=3时的杨氏矩阵。
下面介绍一个公式,那就是著名的钩子公式。
对于给定形状,不同的杨氏矩阵的个数为:n!除以每个格子的钩子长度加1的积。其中钩子长度定义为该格子
右边的格子数和它上边的格子数之和。
题目:http://poj.org/problem?id=1825
介绍完了钩子公式,那么我们可以来做一道基础题了。
题目:给四行,第一行放5个数字,第二行放三个数字,第三行放3个数字,第四行放1个数字,都是左对齐的排列,
现有1~12共12个数字,要求放到这四行中,从上到下,从左到右都是按小到大排列,问你共有几种排法?
() () () () ()
() () ()
() () ()
()
这个问题直接利用钩子公式解决即可。
杨氏矩阵既可以用来当堆,又可以当成平衡树。通常杨氏矩阵会涉及到两个问题:
(1)在杨氏矩阵中查找值为x的元素 (2)在杨氏矩阵中找第K大的元素
对于第一个问题,其实有两种方法,第一种方法就是二分查找法,这种方法的时间效率不是很好。第二种方法就是类
堆查找法。方法是这样的:从矩阵的右上角出发,对于元素a[i][j],如果a[i][j]==x,则找到元素x,直接返
回; 如果a[i][j]> x,则向下移动,即继续比较a[i+1][j]与x;如果a[i][j] < x,则向左移动,即继续比
较a[i][j-1]与x。该算法的时间复杂度是O(m+n)。
- 1 bool Find(int a[][N],int n,int m,int x)
- 2 {
- 3 assert(a != NULL && n > 0 && m > 0);
- 4 int row = 0;
- 5 int col = m - 1;
- 6 while(row <= n - 1 && col >= 0)
- 7 {
- 8 if(a[row][col] == x) return true;
- 9 else if(a[row][col] > x) col--;
- 10 else row++;
- 11 }
- 12 return false;
- 13 }
对于第二个问题,首先,二分枚举找到一个数x,它比杨氏矩阵中k个数大;然后,利用类堆查找法找到刚好小于x的
元素。该算法的时间复杂度为O((m+n)log(mn)),但不需要额外存储空间。
- 1 int get_order(int a[][N],int n,int m,int k)
- 2 {
- 3 int row = 0;
- 4 int col = m - 1;
- 5 int order = 0;
- 6 while(row <= n - 1 && col >= 0)
- 7 {
- 8 if(a[row][col] < k)
- 9 {
- 10 order += col + 1;
- 11 row++;
- 12 }
- 13 else col--;
- 14 }
- 15 return order;
- 16 }
- 17
- 18 int Find_Kth_Num(int a[][N],int n,int m,int k)
- 19 {
- 20 int low = a[0][0];
- 21 int high = a[n-1][m-1];
- 22 int order = 0;
- 23 int mid = 0;
- 24 do
- 25 {
- 26 mid = (low + high) >> 1;
- 27 order = get_order(a,n,m,mid);
- 28 if(order == k) break;
- 29 else if(order > k) high = mid - 1;
- 30 else low = mid + 1;
- 31 }while(1);
- 32 int row = 0;
- 33 int col = m - 1;
- 34 int ret = mid;
- 35 while(row <= n - 1 && col >= 0)
- 36 {
- 37 if(a[row][col] < mid)
- 38 {
- 39 ret = max(ret,a[row][col]);
- 40 row++;
- 41 }
- 42 else col--;
- 43 }
- 44 return ret;
- 45 }
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首先,我们来看一个最简单的问题:
我在学校门口卖奶茶,奶茶一元一杯。今天下午开门的时候,我发现找零的钱忘带了。
这时候来了 2n 个人,其中 n 个人身上只有一张一元钱,另外 n 个人身上只有一张两元钱。我就让他们排成一队,然后用这 n 个人的一元钱来找给付两元的人。当然,排队的时候得保证每次来一个付两元的人的时候都有的找。
假设所有拿一元的人和拿两元的人都没有分别,我现在想知道,他们有多少种排队方式?
这个问题的答案大家都知道,是 Cat[n],即第 n 个卡特兰数(Catalan number)。不过我现在的问题是如下的升级问题。
升级1:条件同上,但这时候来的人数为 3n ,其中 n 个人只有一张一元钱,n 个只有一张两元钱, n 个只有一张三元钱(假设题设的每种面值的钞票均存在)。我仍然让他们排成一队,只要有付两元的就用一元找,付三元的就用两元找。同样得保证每当需要找钱时有对应的钱可以找。求他们有多少种排队方式?
以及最终问题
升级2:条件同上,但这时候来的人数为 mn,其中拥有面值为一元至 m 元的人均有 n 个。每当支付 k ()元时用 k-1 面值的钞票去找零。求合法排队方式数。
先看例题:【HihoCoder1480:矩阵填数 】
题意:将N*M个整数填入N*M的矩阵中,要求当前位置的数小于左边和上面的数,求方案数。
有【钩子公式】:
对于给定形状,不同的杨氏矩阵的个数为:n!除以每个格子的钩子长度加1的积。 其中钩子长度定义为该格子 右边的 格子数和 它上边的格子数之和。
则易得此题公式:
- ans=fac[n*m];
- for(int i=1;i<=n;i++)
- for(int j=1;j<=m;j++){
- ans=ans*rev[i+j-1]%Mod;
- }
【关键】:这个矩阵填数和卖奶茶的关系:
加入3*N个人买奶茶: N个一块钱的+N个两块钱+N个三块钱,给他们的排队队伍编号1,2,3 ... 3*N。然后把这3*N个人拿去填充矩阵。
具体的,一块钱的在第一排,两块钱的在第二排,三块钱的在第三排。 那么他们必须满足:先来的在左边,小面额的在上边。
即当前位置是数小于上面的和左边的。这样以来这个解就可以用钩子定理来求解了。
此外:
杨氏矩阵还有递推公式:f[n]=f[n-1]+(n-1)*f[n-2]。
还可以用卡特兰数表示:第个卡特兰数。
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