P3369 【模板】普通平衡树（Treap/SBT）
题目描述
您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：
-
插入x数
-
删除x数(若有多个相同的数，因只删除一个)
-
查询x数的排名(排名定义为比当前数小的数的个数+1。若有多个相同的数，因输出最小的排名)
-
查询排名为x的数
-
求x的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数)
- 求x的后继(后继定义为大于x，且最小的数)
输入输出格式
输入格式：第一行为n，表示操作的个数,下面n行每行有两个数opt和x，opt表示操作的序号( 1≤opt≤6 1 \leq opt \leq 6 1≤opt≤6 )
输出格式：对于操作3,4,5,6每行输出一个数，表示对应答案
输入输出样例
输入样例#1：
10
1 106465
4 1
1 317721
1 460929
1 644985
1 84185
1 89851
6 81968
1 492737
5 493598
输出样例#1：
106465
84185
492737
说明
时空限制：1000ms,128M
1.n的数据范围： n≤100000
2.每个数的数据范围： [−107,107]
来源：Tyvj1728 原名：普通平衡树
在此鸣谢
Solution：
本题需要的6种操作的splay实现原理见此
splay代码：
#include<bits/stdc++.h> #define il inline #define ll long long #define RE register #define For(i,a,b) for(RE int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++) #define Bor(i,a,b) for(RE int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--) #define son(x) (ch[fa[x]][1]==x) using namespace std; const int N=100005,inf=0x7fffffff; int ch[N][2],fa[N],siz[N],rk[N],date[N],root,cnt,n,tot; int gi(){ int a=0;char x=getchar();bool f=0; while((x<'0'||x>'9')&&x!='-') x=getchar(); if(x=='-') x=getchar(),f=1; while(x>='0'&&x<='9') a=(a<<3)+(a<<1)+(x^48),x=getchar(); return f?-a:a; } il void pushup(int rt){ int ls=ch[rt][0],rs=ch[rt][1]; siz[rt]=siz[ls]+siz[rs]+rk[rt]; } il void rotate(int x){ int y=fa[x],z=fa[y],b=son(x),c=son(y),a=ch[x][!b]; z?ch[z][c]=x:root=x; fa[x]=z; if(a)fa[a]=y; ch[y][b]=a; ch[x][!b]=y,fa[y]=x; pushup(y),pushup(x); } il void splay(int x,int i){ while(fa[x]!=i){ RE int y=fa[x],z=fa[y]; if(z==i) rotate(x); else { if(son(x)==son(y)) rotate(y),rotate(x); else rotate(x),rotate(x); } } } void insert(int &rt,int x){ if(!rt){ rt=++cnt,date[cnt]=x,siz[cnt]=rk[cnt]=1; return; } if(x==date[rt]){rk[rt]++,siz[rt]++;return;} if(x<date[rt]) insert(ch[rt][0],x),fa[ch[rt][0]]=rt; else insert(ch[rt][1],x),fa[ch[rt][1]]=rt; pushup(rt); } il int getpre(int rt,int x){ int p=rt,ans; while(p){ if(x<=date[p]) p=ch[p][0]; else ans=p,p=ch[p][1]; } return ans; } il int getsuc(int rt,int x){ int p=rt,ans; while(p){ if(x>=date[p]) p=ch[p][1]; else ans=p,p=ch[p][0]; } return ans; } il int getmin(int rt){ int p=rt,ans=-1; while(p) ans=p,p=ch[p][0]; return ans; } void del(int rt,int x){ if(date[rt]==x) { if(rk[rt]>1) rk[rt]--,siz[rt]--; else { splay(rt,0); int p=getmin(ch[rt][1]); if(~p) { splay(p,rt); root=p,fa[p]=0; ch[p][0]=ch[rt][0],fa[ch[rt][0]]=p; pushup(p); } else { root=ch[rt][0],fa[ch[rt][0]]=0; } } return ; } if(x<date[rt]) del(ch[rt][0],x); else del(ch[rt][1],x); pushup(rt); } int getrank(int rt,int x){ if(x==date[rt]){ splay(rt,0); if(!ch[rt][0]) return 1; return siz[ch[rt][0]]+1; } if(x<date[rt]) return getrank(ch[rt][0],x); return getrank(ch[rt][1],x); } int getorder(int rt,int k){ int ls=ch[rt][0]; if(siz[ls]+1<=k&&k<=siz[ls]+rk[rt]) return date[rt]; if(k<siz[ls]+1) return getorder(ch[rt][0],k); if(siz[ls]+rk[rt]<k) return getorder(ch[rt][1],k-siz[ls]-rk[rt]); } int main(){ n=gi(); while(n--){ RE int opt=gi(),x=gi(); if(opt==1) tot++,insert(root,x),splay(cnt,0),root=cnt; if(opt==2) tot--,del(root,x); if(opt==3) printf("%d\n",getrank(root,x)); if(opt==4) printf("%d\n",getorder(root,x)); if(opt==5) printf("%d\n",date[getpre(root,x)]); if(opt==6) printf("%d\n",date[getsuc(root,x)]); } return 0; }
本题用Treap的实现：引用自hzwer的博客
这是一道平衡树的模板题
treap是一棵修改了结点顺序的二叉查找树
通常树内的每个结点x都有一个关键字值key[x]，另外，还要为结点分配一个随机数。
假设所有的优先级是不同的，所有的关键字也是不同的。treap的结点排列成让关键字遵循二叉查找树性质，并且优先级遵
循最小堆顺序性质：
1.如果v是u的左孩子，则key[v] < key[u].
2.如果v是u的右孩子，则key[v] > key[u].
3.如果v是u的孩子，则rand[u] > rand[u].
这两个性质的结合就是为什么这种树被称为“treap”的原因，因为它同时具有二叉查找树和heap的特征。
Treap代码：
#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<ctime> using namespace std; const int N=1e6+10; struct tree{ int l,r;//左右儿子节点编号 int num;//当前节点的数字 int s;//以当前节点为根的子树的节点数 int sum;//当前节点的数字的数量 int rnd;//随机优先级 }tr[N];//下标为节点编号 int n,rt,cnt,t1,t2; void updata(int &k){ int &l=tr[k].l,&r=tr[k].r; tr[k].s=tr[l].s+tr[r].s+tr[k].sum; } void lturn(int &k){ int t=tr[k].r;tr[k].r=tr[t].l;tr[t].l=k; tr[t].s=tr[k].s;updata(k);k=t; } void rturn(int &k){ int t=tr[k].l;tr[k].l=tr[t].r;tr[t].r=k; tr[t].s=tr[k].s;updata(k);k=t; } void insert(int &k,int x){ if(!k){ k=++cnt;tr[k].num=x;tr[k].s=1;tr[k].sum++;tr[k].rnd=rand();return ; } tr[k].s++; int &l=tr[k].l,&r=tr[k].r; if(x<tr[k].num){ insert(l,x); if(tr[l].rnd<tr[k].rnd) rturn(k); } else if(x>tr[k].num){ insert(r,x); if(tr[r].rnd<tr[k].rnd) lturn(k); } else{ tr[k].sum++;return ; } } void del(int &k,int x){ if(!k) return ; int &l=tr[k].l,&r=tr[k].r; if(x==tr[k].num){ if(tr[k].sum>1){ tr[k].sum--;tr[k].s--;return ; } if(l*r==0) k=l+r; else{ if(tr[l].rnd<tr[r].rnd) rturn(k); else lturn(k); del(k,x); } } else{ tr[k].s--; if(x>tr[k].num) del(r,x); else del(l,x); } } int find1(int &k,int x){ if(!k) return 0; int &l=tr[k].l,&r=tr[k].r; if(tr[k].num==x) return tr[l].s+1; if(tr[k].num>x) return find1(l,x); if(tr[k].num<x) return tr[l].s+tr[k].sum+find1(r,x); } int find2(int &k,int x){ if(!k) return 0; int &l=tr[k].l,&r=tr[k].r; if(tr[l].s+1<=x&&tr[l].s+tr[k].sum>=x) return tr[k].num; if(tr[l].s>=x) return find2(l,x); if(tr[l].s+tr[k].sum<x) return find2(r,x-tr[l].s-tr[k].sum); } void pred(int &k,int x){ if(!k) return ; int &l=tr[k].l,&r=tr[k].r; if(tr[k].num<x){ t1=tr[k].num; pred(r,x); } else pred(l,x); } void succ(int &k,int x){ if(!k) return ; int &l=tr[k].l,&r=tr[k].r; if(tr[k].num>x){ t2=tr[k].num; succ(l,x); } else succ(r,x); } int main(){ srand(time(0)); scanf("%d",&n); for(int i=1,opt,x;i<=n;i++){ scanf("%d%d",&opt,&x);t1=t2=0; switch(opt){ case 1:insert(rt,x);break; case 2:del(rt,x);break; case 3:printf("%d\n",find1(rt,x));break; case 4:printf("%d\n",find2(rt,x));break; case 5:pred(rt,x);printf("%d\n",t1);break; case 6:succ(rt,x);printf("%d\n",t2);break; } } return 0; }
无旋Treap的实现原理可以去看神犇fhq在wc上的ppt。
我大概讲下：用到了函数式编程的思想，所谓函数就是定义域+对应法则，所谓编程就是把输入映射成输出的函数。函数式编程从不修改任何东西，它只做一件事：定义。那么我们可以引申出函数式线段树（可持久化线段树），同理可以引申出函数式平衡树。但是平衡树需要旋转，很不方便，以treap为例，我们完全没必要旋转。只需用到两个操作：
1、merge：我们假设要把A、B两棵树合并（注意：中序遍历A<B，要保证合并后的树中序遍历满足该条件），若A、B一方为空返回另一方，若A的优先级大于B的优先级，则A作根递归合并A的右子树和B，否则B作根递归合并A和B的左子树。
2、split：我们假设把root为根的树按照小于等于权值k分为A、B两棵树，若当前节点val<=k则把其和左子树分给A并递归右子树，否则把其和右子树分给B并递归左子树。
有了这两个操作，其它操作都可以引申出来了（某些操作当然也可以像普通treap那样查）：
1、insert(x)，先split(x)，再把新节点与分离的两棵树二次merge。
2、delet(x)，先split(x)再split(x-1)，然后merge权值全为x的那棵树的左右子树。
3、rank(x)，先split(x-1)，排名就是权值小于等于x-1的那棵树的大小+1。
4、kth(x)，普通treap那样查。
5、pre(x)，先split(x-1)，再在权值小于等于x-1的那棵树中查kth(siz)。
6、suc(x)，先split(x)，再在权值大于x的那棵树中查kth(1)。
无旋Treap代码：
#include<bits/stdc++.h> #define il inline #define ll long long #define RE register #define For(i,a,b) for(RE int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++) #define Bor(i,a,b) for(RE int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--) using namespace std; const int N=100005; int n,cnt,root; int ch[N][2],date[N],rnd[N],siz[N]; int gi(){ int a=0;char x=getchar();bool f=0; while((x<'0'||x>'9')&&x!='-') x=getchar(); if(x=='-') x=getchar(),f=1; while(x>='0'&&x<='9') a=(a<<3)+(a<<1)+(x^48),x=getchar(); return f?-a:a; } il int newnode(int v){ cnt++; siz[cnt]=1,date[cnt]=v,rnd[cnt]=rand(); return cnt; } il void pushup(int rt){siz[rt]=siz[ch[rt][0]]+siz[ch[rt][1]]+1;} int merge(int x,int y){ if(!x||!y) return x+y; if(rnd[x]<rnd[y]) { ch[x][1]=merge(ch[x][1],y); pushup(x); return x; } else { ch[y][0]=merge(x,ch[y][0]); pushup(y); return y; } } void split(int rt,int k,int &x,int &y){ if(!rt) {x=y=0;return;} if(date[rt]<=k) x=rt,split(ch[rt][1],k,ch[rt][1],y); else y=rt,split(ch[rt][0],k,x,ch[rt][0]); pushup(rt); } il int kth(int rt,int k){ while(1){ if(k<=siz[ch[rt][0]]) rt=ch[rt][0]; else if(k>siz[ch[rt][0]]+1) k-=siz[ch[rt][0]]+1,rt=ch[rt][1]; else return rt; } } il void ins(int v){ int x=0,y=0; split(root,v,x,y); root=merge(x,merge(newnode(v),y)); } il void del(int v){ int x=0,y=0,z=0; split(root,v,x,z),split(x,v-1,x,y); y=merge(ch[y][0],ch[y][1]); root=merge(x,merge(y,z)); } il int id(int v){ int x=0,y=0,ans; split(root,v-1,x,y); ans=siz[x]+1; root=merge(x,y); return ans; } il int pre(int v){ int x=0,y=0,ans; split(root,v-1,x,y); ans=date[kth(x,siz[x])]; root=merge(x,y); return ans; } il int suc(int v){ int x=0,y=0,ans; split(root,v,x,y); ans=date[kth(y,1)]; root=merge(x,y); return ans; } int main(){ srand(time(0)); n=gi(); int opt,v; while(n--){ opt=gi(),v=gi(); if(opt==1) ins(v); if(opt==2) del(v); if(opt==3) printf("%d\n",id(v)); if(opt==4) printf("%d\n",date[kth(root,v)]); if(opt==5) printf("%d\n",pre(v)); if(opt==6) printf("%d\n",suc(v)); } return 0; }
用vector暴力模拟可以AC，总耗时也就比正解慢100ms左右
vector代码：
#include<cstdio> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<set> #include<vector> #include<algorithm> #define inf 1000000000 using namespace std; inline int read() { int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } int n; vector<int> a; void insert(int x) { a.insert(upper_bound(a.begin(),a.end(),x),x); return; } void del(int x) { a.erase(lower_bound(a.begin(),a.end(),x)); return; } int find(int x) { return lower_bound(a.begin(),a.end(),x)-a.begin()+1; } int main() { n=read(); a.reserve(200000); int f,x; for(int i=1;i<=n;i++) { f=read();x=read(); switch(f) { case 1:insert(x);break; case 2:del(x);break; case 3:printf("%d\n",find(x));break; case 4:printf("%d\n",a[x-1]);break; case 5:printf("%d\n",*--lower_bound(a.begin(),a.end(),x));break; case 6:printf("%d\n",*upper_bound(a.begin(),a.end(),x));break; } } return 0; }
用pbds中的红黑树的AC实现代码（竟然比vector的暴力模拟还慢上100ms，贼有意思！）：
#include<bits/stdc++.h> #include<ext/pb_ds/tree_policy.hpp> #include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp> #define ll long long #define il inline using namespace std; using namespace __gnu_pbds; typedef tree<ll,null_type,less<ll>,rb_tree_tag,tree_order_statistics_node_update>t; il int gi() { int a=0;char x=getchar();bool f=0; while((x<'0'||x>'9')&&x!='-')x=getchar(); if(x=='-')x=getchar(),f=1; while(x>='0'&&x<='9')a=a*10+x-48,x=getchar(); return f?-a:a; } ll n,opt,x,ans; int main() { t T; n=gi(); for(int i=1;i<=n;i++){ opt=gi(),x=gi(); if(opt==1)T.insert((x<<20)+i); if(opt==2)T.erase(T.lower_bound(x<<20)); if(opt==3)printf("%lld\n",T.order_of_key(x<<20)+1); if(opt==4){ans=*T.find_by_order(x-1),printf("%lld\n",ans>>20);} if(opt==5){ans=*--T.lower_bound(x<<20),printf("%lld\n",ans>>20);} if(opt==6){ans=*T.upper_bound((x<<20)+n),printf("%lld\n",ans>>20);} } return 0; }
PS：～蒟蒻写博客不易，转载请注明出处，万分感谢！～
