二分图最大匹配的一些证明
①最小路径覆盖：
给定有向图G=(V,E)。设P 是G 的一个简单路（顶点不相交）的集合。如果V 中每个顶点恰好在P 的一条路上，则称P是G 的一个路径覆盖。P 中路径可以从V 的任何一个顶点开始，长度也是任意的，特别地，可以为0。G 的最小路径覆盖是G 的所含路径条数最少的路径覆盖。
路径覆盖和二分图匹配的关系：最小路径覆盖=|G|-最大匹配数
上述公式中最大匹配数是这样来的：
对于G中每一个节点x，建立节点x1，x2。若x- >y存在边，则x1与y2之间连一条无向边，求这个二分图的最大匹配数即可。
证明如下：
首先，若最大匹配数为0，则二分图中无边，也就是说有向图G中不存在边，那么
显然：最小路径覆盖=|G|-最大匹配数=|G|-0=|G|。
若此时增加一条匹配边x1--y2，则在有向图|G|中，x、y在同一条路径上，最小路径覆盖数减少一个。
继续增加匹配边，每增加一条，最小路径覆盖数减少一个，则公式：最小路径覆盖=|G|-最大匹配数得证。
②最小点覆盖
二分图中，选取最少的点数，使这些点和所有的边都有关联（把所有的边的覆盖），叫做最小点覆盖。
最小点覆盖数 = 最大匹配数
证明：转载自：Matrix67
二分图最大匹配的König定理及其证明
如果你看不清楚第二个字母，下面有一个大号字体版本：
二分图最大匹配的König定理及其证明
本文将是这一系列里最短的一篇，因为我只打算把König定理证了，其它的废话一概没有。
以下五个问题我可能会在以后的文章里说，如果你现在很想知道的话，网上去找找答案：
1. 什么是二分图；
2. 什么是二分图的匹配；
3. 什么是匈牙利算法；(http://www.matrix67.com/blog/article.asp?id=41)
4. König定理证到了有什么用；
5. 为什么o上面有两个点。
König定理是一个二分图中很重要的定理，它的意思是，一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。如果你还不知道什么是最小点覆盖，我也在这里说一下：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖所有的边。比如，下面这个图中的最大匹配和最小点覆盖已分别用蓝色和红色标注。它们都等于3。这个定理相信大多数人都知道，但是网络上给出的证明并不多见。有一些网上常见的“证明”明显是错误的。因此，我在这里写一下这个定理的证明，希望对大家有所帮助。
假如我们已经通过匈牙利算法求出了最大匹配（假设它等于M），下面给出的方法可以告诉我们，选哪M个点可以覆盖所有的边。
匈牙利算法需要我们从右边的某个没有匹配的点，走出一条使得“一条没被匹配、一条已经匹配过，再下一条又没匹配这样交替地出现”的路（交错轨，增广路）。但是，现在我们已经找到了最大匹配，已经不存在这样的路了。换句话说，我们能寻找到很多可能的增广路，但最后都以找不到“终点是还没有匹配过的点”而失败。我们给所有这样的点打上记号：从右边的所有没有匹配过的点出发，按照增广路的“交替出现”的要求可以走到的所有点（最后走出的路径是很多条不完整的增广路）。那么这些点组成了最小覆盖点集：右边所有没有打上记号的点，加上左边已经有记号的点。看图，右图中展示了两条这样的路径，标记了一共6个点（用 “√”表示）。那么，用红色圈起来的三个点就是我们的最小覆盖点集。
首先，为什么这样得到的点集点的个数恰好有M个呢？答案很简单，因为每个点都是某个匹配边的其中一个端点。如果右边的哪个点是没有匹配过的，那么它早就当成起点被标记了；如果左边的哪个点是没有匹配过的，那就走不到它那里去（否则就找到了一条完整的增广路）。而一个匹配边又不可能左端点是标记了的，同时右端点是没标记的（不然的话右边的点就可以经过这条边到达了）。因此，最后我们圈起来的点与匹配边一一对应。
其次，为什么这样得到的点集可以覆盖所有的边呢？答案同样简单。不可能存在某一条边，它的左端点是没有标记的，而右端点是有标记的。原因如下：如果这条边不属于我们的匹配边，那么左端点就可以通过这条边到达（从而得到标记）；如果这条边属于我们的匹配边，那么右端点不可能是一条路径的起点，于是它的标记只能是从这条边的左端点过来的（想想匹配的定义），左端点就应该有标记。
最后，为什么这是最小的点覆盖集呢？这当然是最小的，不可能有比M还小的点覆盖集了，因为要覆盖这M条匹配边至少就需要M个点（再次回到匹配的定义）。
③最大独立集=总数-最小覆盖集证明：
（摘自：http://m.blog.csdn.NET/article/details?id=50011363）
上图，我们用两个红色的点覆盖了所有边。我们证明的前提条件是已经达到最小覆盖。
即条件1.已经覆盖所有边，条件2.所用的点数最小
首先我们来证明蓝色点组成的是一个独立集：如果有两个蓝色点间有边相连，那么这条
边则没有被覆盖，则与条件1矛盾。因此是独立集。
再来证明这个独立集最大： 如果我们要再增加这个独立集中的点，则需要把某个红点变
成蓝点。而由最小覆盖数=最大匹配数的证明我们知道，每一个红点是最大匹配中的一
个匹配点，也就是说每个红点至少连接了一条边。因此当我们将某个红点变成蓝点
时，我们需要牺牲的蓝点的个数是大于等于1的。也就是说，我们最多只能找到数量相等
的其他独立集，而无法找到数量更大的。因此蓝色点集必定为最大独立集。 蓝色点数 =
总点数 - 红色点数，即最大独立集=总数-最小覆盖集。
由上述定理，同理可知：
最大独立集+最小点权覆盖=总权值。
又∵最小点权覆盖=最小割
∴最大独立集=最小割。
