快速幂和矩阵快速幂

转载：快速幂和矩阵快速幂-模板

快速幂的思想就是减少相乘的次数，将原本n-1次的相乘减小到（lg（n））的复杂度；

a^b=(a^2)^(b/2)

这个式子由于/是整除，所以得分奇偶的不同情况，偶数时仍然成立，奇数时需要再乘上一个a；

所以快速幂就是将原本的以a为基本单位的连乘改成以a*a为单位的连乘；

代码： 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long 
using namespace std;
ll quickpow(ll a,ll n,ll mod)//计算的大多是要对mod；
{
    int ans=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b/=2;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int a,b,mod;
    cin>>a>>b>>mod;
    int ans=quickpow(a,b,mod);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

矩阵的快速幂是在这个的思想的基础上的，对矩阵进行更新；

 

题目背景

矩阵快速幂

题目描述

给定n*n的矩阵A，求A^k

输入输出格式

输入格式：

第一行，n,k

第2至n+1行，每行n个数，第i+1行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素

输出格式：

输出A^k

共n行，每行n个数，第i行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素，每个元素模10^9+7

输入输出样例

输入样例#1： 

2 1
1 1
1 1

输出样例#1： 

1 1
1 1

说明

n<=100, k<=10^12, |矩阵元素|<=1000 算法：矩阵快速幂

 

代码：

 

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
ll n,k;
struct mat{ll a[102][102],r,c;};
il mat mul(mat x,mat y)
{
    mat p;
    memset(&p,0,sizeof(p));
    p.r=x.r,p.c=y.c;
    for(int i=0;i<x.r;i++)
        for(int j=0;j<y.c;j++)
            for(int k=0;k<x.c;k++)
    p.a[i][j]=(p.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod;
    return p;
}
il ll gi()
{
    ll a=0;char x=getchar();bool f=0;
    while((x<'0'||x>'9')&&x!='-')x=getchar();
    if(x=='-')x=getchar(),f=1;
    while(x>='0'&&x<='9')a=a*10+x-48,x=getchar();
    return f?-a:a;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    n=gi(),k=gi();
    mat p,ans;
    p.r=p.c=ans.r=ans.c=n;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)p.a[i][j]=gi(),ans.a[i][j]=p.a[i][j];
    k--;
    while(k)
    {
        if(k&1)ans=mul(ans,p);
        k>>=1;
        p=mul(p,p);
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++)cout<<ans.a[i][j]<<' ';
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

 

 

 

不懂的可以点这里