二分+质因数分解| 阶乘质因数分解

题目描述

题目地址：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/4784/B

思路

1.对p质因数分解，根据唯一分解定理，可以分解出唯一的如下表达式

2.对n!进行质因数分解的话，也可以分解出p1^x1,p2x2,p3^x3....，求n!中因子p的个数，参考这道题

3.如果n!中对应的质因子的次数x1,x2,x3...都大于p中因子幂次，那么n!就是p的倍数。

4.二分答案n即可

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int t;
ll p;
vector<pair<int,int> > v;

bool check(ll n){
	for(int i=0;i<v.size();i++){
		ll cnt = 0, temp = n;
		//分解n!的因子  
		while(temp){
			cnt += temp/v[i].first;
			temp /= v[i].first;
		}
		//如果n!的因子v[i]的个数 比p的少,那么n!肯定就不是p的倍数了 
		if(cnt < v[i].second) return false;
	}
	return true;
}

void solve(){
	v.clear();
	cin>>p;
	ll l = 1,r = p,mid,ans = 1;
	//p进行质因子分解, x^a y^b z^c... 
	for(int i=2;i*i<=p;i++){
		if(p%i == 0){
			int cnt = 0;
			while(p%i == 0){
				p /= i;
				cnt++;
			}
			v.push_back({i,cnt});
		}
	}
	if(p > 1) v.push_back({p,1});
	//二分搜索答案 n
	while(l <= r){
		mid = (l+r) >> 1;
		if(check(mid) == true) {
			r = mid - 1;
		}else{
			l = mid + 1;
			ans = l;
		}
	}
	cout<<l<<endl;
}


int main(){
	cin>>t;
	while(t--){
		solve();
	}
	return 0;
}