树上问题

树上问题总结

我字太丑了...

1.树上倍增求LCA

求LCA的方法1：tarjan
求LCA的方法2：倍增
求LCA的方法3：树链剖分

用树链剖分求LCA

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 5e5+100;
vector<int> g[maxn];
/*  父亲,    深度,       子节点数, 重儿子,   dfs序,   dfs映射，链头,    链尾    */
int fa[maxn],depth[maxn],sz[maxn],son[maxn],id[maxn],rk[maxn],top[maxn],bot[maxn];
int cnt = 0;

void dfs(int x,int deep){
	depth[x] = deep;
	sz[x] = 1;
	for(int li = 0;li<g[x].size();li++){
		int i = g[x][li];
		if(i == fa[x]) continue;
		fa[i] = x;
		dfs(i,deep+1);
		sz[x] += sz[i];
		if(sz[i] > sz[son[x]]) son[x] = i;
	}
}

void dfs2(int x,int tp){
	top[x] = tp;
	id[x] = ++cnt;
	rk[cnt] = x;
	if(son[x]) dfs2(son[x],tp),bot[x] = bot[son[x]];
	else bot[x] = x;
	for(int li=0;li<g[x].size();li++){
		int i = g[x][li];
		if(i != fa[x] && i != son[x])
			dfs2(i,i);
	}
}

int lca(int u,int v){
	while(top[u] != top[v]){
		if(depth[top[u]] < depth[top[v]]) swap(u,v);
		u = fa[top[u]];
	}
	if(depth[u] < depth[v]) return u;
	return v;
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	int n,m,root;
	cin>>n>>m>>root;
	for(int i=1;i<=n-1;i++){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		g[u].push_back(v);
		g[v].push_back(u);
	}
	dfs(root,1);
	dfs2(root,root);
	while(m--){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		cout<<lca(u,v)<<endl;
	}
	return 0;
}

2.树上前缀和

例题1: 前缀和+lca

题目描述：给定一颗n个点的树，每个点i的点权为vi；q个询问，求点u，到点v路径上的点权和。1<=n,q<=10^5;0<=vi<=109

设点u和v的lca为点x，点x的父亲为点y；
点u到点v的路径ans = sum[v] + sum[u] - sum[x] - sum[y];
注释：减去lca，减去lca的父亲，lca以上的路径被减了两遍。

例题2：前缀和求异或+lca

HPU校赛，树上异或路径和

3-0.树上差分概念

利用树上倍增求出两点的LCALCA，然后两点(u,v)(u,v)之间边的信息往往可以转化为(u−>root)+(v−>root)−2∗(LCA−>root)，点的信息可以转化为(u−>root)+(v−>root)−LCA−>root−faLCA−>root。

3-1.树上差分，对点差分

例题1如下：

差分后，每个点的现在值等于原值+子树中所有变化之和。

设点u和v的lca为点x，点x的父亲为点y；
a[u] += t; a[v] += t; a[x] -= t; a[y] -= t;

3-2.树上差分，对边差分

对边差分的公式：(u−>root)+(v−>root)−2∗(LCA−>root)

例题1：P2420
这道题 异或两次(LCA->root) = 不异或

例题2：树上前缀和 + 异或 + 组合数学



first改成second

4.子树问题：dfs序

dfs序把树上问题转成区间序列问题，之后用线段树主席树等数据结构处理序列问题即可

例题：

5.树链问题：树链剖分

树链剖分把树上问题，把各个链(重链、轻链）转成连续的区间序列，之后用线段树主席树等数据结构处理序列问题即可；

模板题：
P3384题目
p3384题解
用树链剖分实现4种树上问题：

1.将树从x到y结点最短路径上所有节点的值都加上z
2.求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和
3.将以x为根节点的子树内所有节点值都加上z
4.求以x为根节点的子树内所有节点值之和

例题6：

例题7：